1.2 Степень с натуральным показателем

7 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: умножение дробей и чисел со знаком, порядок действий

Один человек узнал новость и за час рассказал её двоим. Каждый из них за следующий час рассказал ещё двоим — и так далее. Через час новость знают $2$ человека, через два часа — $4$, через три — $8$.

Записывать $2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2$ утомительно уже на двенадцатом часе. Нужна короткая запись — и она же даст нам новый способ думать о росте.

◎ После урока ты сможешь

• записывать произведение одинаковых множителей степенью и читать такую запись
• вычислять степень числа, включая отрицательные и дробные основания
• определять знак степени, не вычисляя её значение
• соблюдать порядок действий в выражениях со степенями

Прогноз до вычислений

Новость расходится по описанному правилу. Как ты думаешь, через сутки её будут знать больше миллиона человек или меньше? Назови своё число до вычисления, а потом посмотри на столбики в лаборатории.

Лаборатория степеней

Степень: запись, свойства и порядок числа

Разверни степень в произведение, проверь свойства на конкретном числе и посмотри, где число стоит на шкале порядков.

aⁿ

Что такое степеньСвойства степенейСтандартный вид

Основание a

Можно вводить −3, 0,5 или 2/3.

Показатель n 6

−+

Натуральное число от 1 до 10.

2⁶=2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2=64

Знак степени

Степень положительна

основание положительно, поэтому знак не меняется ни при каком показателе.

=

2^6 = 64Показатель считает множители, а не слагаемые: он говорит, сколько раз основание участвует в произведении.

↺ Вернуть пример

Увеличивай показатель по одному и следи за двумя картинками сразу: столбики — это степень, пунктирная линия — равномерный рост, когда каждый час прибавляется одно и то же количество. Сначала линия выше столбиков. Потом всё меняется.

Определение

∴ Степень с натуральным показателем

Для натурального $n\ge2$ и любого числа $a$

$a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\ \text{множителей}},\qquad a^{1}=a.$

Здесь $a$ — основание степени, $n$ — показатель. Запись $a^{n}$ читают «а в степени эн»; $a^2$ называют квадратом числа $a$, $a^3$ — кубом.

Показатель считает множители, а не слагаемые. Поэтому $2^{5}=32$, а вовсе не $2\cdot5=10$.

∴ Порядок действий

Степень выполняется раньше умножения, деления, сложения и вычитания. Из-за этого

$-3^{2}=-(3^{2})=-9,\qquad (-3)^{2}=(-3)\cdot(-3)=9.$

Минус входит в основание только тогда, когда он стоит внутри скобок.

Знак степени

Знак можно назвать сразу, ничего не вычисляя. Отрицательные множители разбиваются на пары, и каждая пара даёт плюс:

• если основание положительно, степень положительна при любом показателе;
• если основание отрицательно, а показатель чётный, степень положительна;
• если основание отрицательно, а показатель нечётный, остаётся один лишний минус — степень отрицательна;
• ноль в любой натуральной степени равен нулю.

Пять коротких вычисленийРазбираем вместе

$(-3)^{2}=(-3)\cdot(-3)=9.$

$-3^{2}=-(3\cdot3)=-9.$

$(-2)^{3}=(-2)\cdot(-2)\cdot(-2)=-8.$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{2\cdot2\cdot2}{3\cdot3\cdot3}=\frac{8}{27}.$

$(0{,}1)^{4}=0{,}1\cdot0{,}1\cdot0{,}1\cdot0{,}1=0{,}0001.$

В последнем примере удобно считать в обыкновенных дробях: $\left(\dfrac{1}{10}\right)^{4}=\dfrac{1}{10\,000}$. Число нулей в ответе равно показателю — это будет важно в уроке о стандартном виде.

Почему степень так быстро растёт

Сравним два способа увеличивать число за час: прибавлять $2$ и умножать на $2$.

Часов	Прибавляем: $2n$	Умножаем: $2^{n}$
$1$	$2$	$2$
$5$	$10$	$32$
$10$	$20$	$1024$
$20$	$40$	$1\,048\,576$
$24$	$48$	$16\,777\,216$

Через сутки новость знали бы больше шестнадцати миллионов человек — если бы модель работала без ограничений. На практике люди повторяются, знакомых конечное число, и рост замедляется. Модель говорит не «так будет», а «так растёт удвоение, пока ему ничто не мешает».

Проверка понимания

Чему равно значение выражения −5²?

• А. 25
• Б. −25
• В. −10

! Степень — это не умножение на показатель

Частая ошибка: $2^{5}=10$. На самом деле $2^{5}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32$.

Проверить себя легко: запиши степень развёрнуто хотя бы один раз. Если множителей столько, сколько сказано в показателе, — запись понята правильно.

Практика

1. Запиши произведение в виде степени: $7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7$.
2. Вычисли: $3^{4}$, $2^{6}$, $10^{5}$, $1^{9}$.
3. Вычисли: $(-2)^{4}$, $(-2)^{5}$, $-2^{4}$.
4. Вычисли: $(0{,}2)^{3}$, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}$, $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}$.
5. Не вычисляя значений, назови знаки чисел $(-7)^{11}$ и $(-7)^{12}$.
6. Найди значения выражений $5\cdot2^{3}$ и $(5\cdot2)^{3}$.
7. При каком натуральном $n$ верно равенство $2^{n}=64$?
8. Клетка делится каждые $20$ минут. Сколько клеток получится из одной за $4$ часа?
9. Что больше: $2^{10}$ или $10^{2}$?
10. Сравни $3^{2}+4^{2}$ и $(3+4)^{2}$.

Ответы и пояснения

1. $7^{6}$.
2. $3^{4}=81$; $2^{6}=64$; $10^{5}=100\,000$; $1^{9}=1$.
3. $(-2)^{4}=16$; $(-2)^{5}=-32$; $-2^{4}=-16$ — здесь минус не входит в основание.
4. $(0{,}2)^{3}=0{,}008$; $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}=\dfrac{1}{32}$; $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2}=\dfrac{4}{25}=0{,}16$.
5. $(-7)^{11}<0$ (показатель нечётный), $(-7)^{12}>0$ (показатель чётный).
6. $5\cdot2^{3}=5\cdot8=40$; $(5\cdot2)^{3}=10^{3}=1000$. Скобки меняют, что именно возводится в степень.
7. $n=6$, потому что $2^{6}=64$.
8. За $4$ часа проходит $240:20=12$ делений, значит клеток станет $2^{12}=4096$.
9. $2^{10}=1024$, а $10^{2}=100$; больше $2^{10}$. Менять местами основание и показатель нельзя.
10. $3^{2}+4^{2}=9+16=25$, а $(3+4)^{2}=49$. Степень суммы не равна сумме степеней.

Итог

• $a^{n}$ — короткая запись произведения $n$ одинаковых множителей; $a$ — основание, $n$ — показатель.
• Степень выполняется раньше остальных действий, поэтому $-3^{2}$ и $(-3)^{2}$ — разные числа.
• Знак степени определяется знаком основания и чётностью показателя.
• Умножение растит число несопоставимо быстрее, чем прибавление одного и того же числа.

В следующем уроке заметим главное: произведения и частные степеней с одинаковым основанием можно упрощать, вообще не вычисляя огромных значений.

← Точные вычисления · Дальше: свойства степеней →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным