6.1 События и множества

8 класс · Вероятность◷ 45–55 минут◇ БазаНужно знать: делимость, простые числа, случайный опыт и его исходы

В мешке лежат двенадцать одинаковых на ощупь карточек с числами от $1$ до $12$. Дежурного выбирают так: тянут одну карточку наугад.

Чётных чисел здесь шесть, кратных трём — четыре. Сколько же карточек подходят под условие «число чётное или делится на $3$»?

Вопрос урока: почему $6+4$ — неверный ответ и как считать такие события, ничего не теряя и не считая дважды?

◎ После урока ты сможешь

• описывать событие списком благоприятных ему исходов
• находить объединение, пересечение и противоположное событие
• читать и строить диаграмму Эйлера случайного опыта
• отличать несовместные события от совместных

Прогноз до вычислений

1. Сколько карточек подходят под условие «чётное или делится на $3$»: больше десяти, ровно десять или меньше десяти?
2. Какие карточки будут посчитаны дважды, если просто сложить $6+4$?
3. Событие «число не больше $6$» — это то же самое, что «число меньше $6$»?

Опыт, исход, событие

∴ Три слова, которые нужно различать

Случайный опыт — действие с заранее известным списком возможных результатов, но неизвестным заранее итогом.

Элементарный исход — один из этих результатов. Список составляют так, чтобы в каждом опыте наступал ровно один исход. Все исходы опыта вместе обозначают $\Omega$ (греческая буква «омега»).

Событие — это набор исходов, при которых мы говорим «событие произошло». Поэтому событие — подмножество $\Omega$, и записать его можно списком:

$A=\{2;\,4;\,6;\,8;\,10;\,12\}.$

Число исходов события обозначают $|A|$; для нашего примера $|A|=6$.

Первые два слова знакомы по случайному опыту из 7 класса — там опыт задавали списком исходов. Новое здесь третье: тогда событие описывали словами («выпало чётное число»), теперь оно стало множеством, у которого можно пересчитать элементы. Ради этого всё и затевается: с множествами работают формулы, со словами — нет.

Два крайних случая удобно назвать сразу.

• Событие достоверное, если ему благоприятны все исходы: это само $\Omega$. При броске кубика достоверно «выпало число меньше $7$».
• Событие невозможное, если ему не благоприятен ни один исход. Его обозначают $\varnothing$. При броске кубика невозможно «выпало число больше $6$».

Управляемый эксперимент

В лаборатории тот же мешок из двенадцати карточек. Выбери события $A$ и $B$, переключай операцию и следи, какие карточки попадают в результат.

Лаборатория событий

События, операции и диаграмма Эйлера

В мешке двенадцать одинаковых карточек с числами от 1 до 12; одну достают наугад. Выбери два события и посмотри, из каких исходов складывается результат операции.

n = 12

Событие Aчисло чётноечисло нечётноечисло делится на 3число простоечисло больше 6Благоприятных исходов: 6

Событие Bчисло чётноечисло нечётноечисло делится на 3число простоечисло больше 6Благоприятных исходов: 4

ABA ∪ BA ∩ BĀA \ B

Событие A

6

число чётное: {2; 4; 6; 8; 10; 12}.

Событие B

4

число делится на 3: {3; 6; 9; 12}.

∪

A ∪ B = {2; 3; 4; 6; 8; 9; 10; 12}; в этом событии 8 из 12 исходов.Событие A ∪ B происходит ровно тогда, когда произошло хотя бы одно из событий. Проверка суммы по областям диаграммы: 4 + 2 + 2 + 4 = 12.

Обрати внимание на нижнюю строку: сколько бы событий мы ни выбрали, четыре области диаграммы всегда дают в сумме $12$ — ни один исход не потерялся и ни один не посчитан дважды.

Операции над событиями

∴ Объединение, пересечение, противоположное

Пусть $A$ и $B$ — события одного опыта.

Объединение $A\cup B$ — событие «произошло $A$ или $B$» (хотя бы одно из двух, возможно оба). Ему благоприятны исходы, попавшие хотя бы в один список.

Пересечение $A\cap B$ — событие «произошли $A$ и $B$ одновременно». Ему благоприятны исходы, попавшие в оба списка сразу.

Противоположное событие $\bar{A}$ — «$A$ не произошло». Ему благоприятны все остальные исходы опыта:

$A\cup\bar{A}=\Omega,\qquad A\cap\bar{A}=\varnothing.$

События называют несовместными, если они не могут произойти вместе, то есть $A\cap B=\varnothing$.

Число исходов объединения считают по правилу, которое сразу объясняет ошибку из начала урока:

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.$

Общая часть при сложении попадает в счёт дважды, поэтому её вычитают ровно один раз.

Диаграмма Эйлера

Прямоугольник — все исходы опыта, круги внутри — события. Пересекающиеся круги делят прямоугольник на четыре области:

Область	Что означает	Пример: $A$ — чётное, $B$ — кратно $3$
только $A$	$A$ произошло, $B$ — нет	$2$, $4$, $8$, $10$
общая часть	произошли оба	$6$, $12$
только $B$	$B$ произошло, $A$ — нет	$3$, $9$
вне кругов	не произошло ни одно	$1$, $5$, $7$, $11$

Проверка: $4+2+2+4=12$. Каждый исход попал ровно в одну область — это и есть свойство, ради которого рисуют диаграмму.

Кубик: четыре ответа по одному рисункуРазбираем вместе

Опыт — один бросок кубика, $\Omega=\{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\}$. Возьмём события $A$ — «выпало чётное число» и $B$ — «выпало число больше $3$»:

$A=\{2;\,4;\,6\},\qquad B=\{4;\,5;\,6\}.$

Объединение. Выпишем исходы, попавшие хотя бы в один список:

$A\cup B=\{2;\,4;\,5;\,6\},\qquad |A\cup B|=4.$

Обрати внимание: $|A|+|B|=3+3=6$, а исходов в объединении всего $4$ — потому что $4$ и $6$ есть в обоих списках.

Пересечение. $A\cap B=\{4;\,6\}$, $|A\cap B|=2$. Проверка правила: $3+3-2=4$ — совпало.

Противоположное. $\bar{A}=\{1;\,3;\,5\}$ — «выпало нечётное число».

Разность. $A\setminus B=\{2\}$ — «чётное, но не больше трёх».

События $A$ и $B$ совместны: у них есть общие исходы. А вот $B$ и «выпало число меньше $3$» несовместны — общих исходов нет.

Проверка понимания

В мешке 12 карточек с числами от 1 до 12. A — «число чётное», B — «число делится на 3». Сколько исходов у события A ∪ B?

• А. 10
• Б. 8
• В. 2

Типичная ошибка

! «Не больше шести» — это не «меньше шести»

Противоположное событие меняет утверждение на отрицание целиком, а не заменяет знак «на глаз».

Пусть $C$ — «выпало число больше $6$» на кубике. Тогда $\bar{C}$ — «выпало число не больше $6$», то есть $6$ тоже входит: $\bar{C}=\{1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6\}$. Ответ «меньше $6$» теряет исход $6$.

Вторая частая ошибка — считать объединение сложением. Складывать числа исходов можно только для несовместных событий: если общая часть пуста, вычитать нечего.

Проверяй себя вопросом: «может ли какой-то исход подойти сразу под оба описания?» Если да — событий с общей частью, значит, простое сложение врёт.

Практика

1. Опыт — бросок кубика. Выпиши исходы события «выпало нечётное число».
2. Даны $A=\{2;\,4;\,6\}$ и $B=\{1;\,2;\,3\}$. Найди $A\cup B$ и $A\cap B$.
3. Кубик. $C$ — «выпало не меньше $5$». Выпиши $C$ и $\bar{C}$.
4. Карточки с числами от $1$ до $12$. $A$ — «число делится на $4$», $B$ — «число больше $8$». Найди $A\cup B$, $A\cap B$ и их числа исходов.
5. Приведи пример двух несовместных событий при броске кубика.
6. Могут ли события $A$ и $\bar{A}$ произойти одновременно? Ответ объясни.
7. Какое событие при броске кубика невозможно: «выпало число больше $6$» или «выпало число меньше $6$»?
8. Назови достоверное событие для опыта «бросок кубика».
9. В опыте $12$ исходов, $|A|=5$, $|B|=4$, $|A\cap B|=2$. Сколько исходов в $A\cup B$? Сколько исходов не входит ни в одно из событий?
10. Монету бросают дважды. Опиши словами событие, противоположное событию «хотя бы раз выпал орёл».
11. Про два события известно: $|A|=7$, $|B|=5$, $|A\cup B|=12$. Совместны ли они?

Ответы и пояснения

1. $\{1;\,3;\,5\}$.
2. $A\cup B=\{1;\,2;\,3;\,4;\,6\}$, $A\cap B=\{2\}$.
3. $C=\{5;\,6\}$, $\bar{C}=\{1;\,2;\,3;\,4\}$.
4. $A=\{4;\,8;\,12\}$, $B=\{9;\,10;\,11;\,12\}$. Тогда $A\cup B=\{4;\,8;\,9;\,10;\,11;\,12\}$, $|A\cup B|=6$; $A\cap B=\{12\}$, $|A\cap B|=1$. Проверка: $3+4-1=6$.
5. Например, «выпало число меньше $3$» и «выпало число больше $4$»: общих исходов нет.
6. Нет. По определению $\bar{A}$ состоит ровно из тех исходов, которых нет в $A$, поэтому $A\cap\bar{A}=\varnothing$.
7. Невозможно «выпало число больше $6$»: таких граней нет. Второе событие вполне возможно.
8. Например, «выпало число от $1$ до $6$» — ему благоприятны все исходы.
9. $|A\cup B|=5+4-2=7$; вне обоих событий $12-7=5$ исходов.
10. «Ни разу не выпал орёл», то есть «оба раза выпала решка».
11. Несовместны. По формуле $|A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B|=7+5-12=0$: общих исходов нет, поэтому события не могут произойти вместе.

Итог

• Событие — это множество исходов опыта; его удобно записывать списком и считать по числу элементов.
• $A\cup B$ — «хотя бы одно», $A\cap B$ — «оба сразу», $\bar{A}$ — «не $A$».
• Число исходов объединения равно $|A|+|B|-|A\cap B|$: общую часть вычитают, чтобы не считать её дважды.
• Диаграмма Эйлера делит все исходы на четыре непересекающиеся области — это и есть надёжная проверка подсчёта.

Дальше подключим числа: у каждого события появится вероятность, и операции над событиями превратятся в правила сложения вероятностей.

← Вход в тему · Дальше: классическая вероятность →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным