7.3 Среднее арифметическое

6 класс · Данные◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: деление, десятичные дроби, сумма ряда чисел

Пять дней подряд в полдень измеряли температуру: $12$, $15$, $11$, $14$, $13$ градусов. Кто-то спрашивает: «Ну и какая была температура на этой неделе?»

Назвать пять чисел — честно, но неудобно. Вопрос урока: каким одним числом можно заменить весь ряд, чтобы не соврать?

◎ После урока ты сможешь

• находить среднее арифметическое ряда чисел
• объяснять среднее как результат равного распределения общей суммы
• решать обратные задачи: восстанавливать сумму или пропущенное значение
• называть, о чём среднее умалчивает

Прогноз

Посмотри на ряд $12$, $15$, $11$, $14$, $13$ и, не считая, назови число, которым ты заменил бы всю неделю. Между какими двумя числами оно обязано лежать? Может ли оно оказаться равным $10$? А $16$?

Правило

∴ Среднее арифметическое

Средним арифметическим нескольких чисел называют их сумму, делённую на количество этих чисел:

$\text{среднее}=\frac{\text{сумма всех значений}}{\text{количество значений}}.$

Для ряда $a_1,a_2,\ldots,a_n$ это записывают так:

$\bar a=\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}.$

Для нашей недели:

$\frac{12+15+11+14+13}{5}=\frac{65}{5}=13.$

Эксперимент: среднее выравнивает столбики

Столбики разной высоты можно «срезать» и «досыпать» так, чтобы все стали одинаковыми, а общее количество не изменилось. Уровень, на котором они сравняются, и есть среднее. Пунктир в лаборатории показывает этот уровень.

Лаборатория данных

Среднее выравнивает столбики

Сумма делится поровну между наблюдениями: пунктир показывает уровень, на котором столбики сравнялись бы.

сумма : количество

Строка 1

День

Температура 12Целое от 0 до 999, °C.

Строка 2

День

Температура 15Целое от 0 до 999, °C.

Строка 3

День

Температура 11Целое от 0 до 999, °C.

Строка 4

День

Температура 14Целое от 0 до 999, °C.

Строка 5

День

Температура 13Целое от 0 до 999, °C.

Добавить строкуУбрать последнююСбросить пример

Таблица наблюдений и отклонений от среднего

День	Температура, °C	Отклонение от среднего
Пн	12	−1
Вт	15	2
Ср	11	−2
Чт	14	1
Пт	13	0
Всего	65	0

≈

Среднее арифметическое: 65 : 5 = 13 °C.Среднее — это уровень, на котором все столбики стали бы одинаковыми, а общая сумма не изменилась бы.

Обрати внимание на столбец «Отклонение от среднего»: то, что выше пунктира, и то, что ниже, всегда уравновешивают друг друга, а сумма отклонений равна нулю.

✦ Три свойства среднего

1. Среднее всегда лежит между наименьшим и наибольшим значением ряда.
2. Сумма отклонений от среднего равна нулю: излишки в точности покрывают нехватки.
3. Среднее не обязано быть одним из значений ряда и вполне может оказаться дробным: средний балл $4{,}2$ — нормальное число, хотя оценки $4{,}2$ не бывает.

Обратные задачи

Из формулы $\bar a=\dfrac{S}{n}$ сразу следует $S=\bar a\cdot n$: сумма равна среднему, умноженному на количество. Это открывает две обратные задачи.

Какая оценка нужна за пятую работуРазбираем вместе

За четыре работы получены оценки $3$, $4$, $4$, $5$. Их сумма

$S=3+4+4+5=16,\qquad \bar a=\frac{16}{4}=4.$

Пятая работа написана на $5$. Новое среднее:

$\frac{16+5}{5}=\frac{21}{5}=4{,}2.$

А теперь наоборот: какую оценку нужно получить за пятую работу, чтобы среднее пяти работ равнялось ровно $4$? Сумма пяти работ должна стать

$S_5=4\cdot5=20,\qquad x=20-16=4.$

Проверка: $\dfrac{3+4+4+5+4}{5}=\dfrac{20}{5}=4$. Верно.

Проверка понимания

Среднее арифметическое пяти чисел равно 8. Чему равна их сумма?

• А. 1,6
• Б. 40
• В. 13

! Забыли посчитать нули и повторы

В ряду $5$, $0$, $4$, $3$ иногда делят только на три «непустых» значения:

$\frac{5+0+4+3}{3}=4\quad\text{— неверно}.$

Ноль — тоже наблюдение: в этот день просто ничего не произошло. Значений четыре, поэтому

$\frac{5+0+4+3}{4}=\frac{12}{4}=3.$

То же правило и с повторами: если число $7$ встретилось трижды, оно входит в сумму трижды и трижды считается в количестве.

О чём среднее молчит

Два класса написали работу со средним баллом $4$. В первом у всех ровно четвёрки. Во втором половина получила $5$, половина — $3$. Среднее одинаковое, а классы совершенно разные.

Среднее сворачивает ряд в одно число и вместе с разбросом теряет много информации. Поэтому рядом со средним всегда полезно назвать наименьшее и наибольшее значения ряда.

Практика

1. Найди среднее арифметическое чисел $12$, $15$, $11$, $14$, $13$.
2. Найди среднее арифметическое чисел $7$ и $10$.
3. Найди среднее арифметическое чисел $2$, $3$, $3$, $8$.
4. Оценки за четверть: $4$, $5$, $4$, $3$, $5$, $3$. Найди средний балл.
5. За четыре дня прочитано $12$, $8$, $15$ и $9$ страниц. Сколько страниц в среднем читали в день?
6. Среднее арифметическое пяти чисел равно $6$. Чему равна их сумма?
7. Среднее четырёх чисел равно $7$; три из них — $5$, $8$ и $9$. Найди четвёртое число.
8. За четыре работы получены оценки $3$, $4$, $4$, $5$. Какую оценку нужно получить за пятую, чтобы среднее пяти работ стало равно $4$?
9. Те же четыре работы. Может ли среднее пяти работ оказаться равным $4{,}5$?
10. К ряду $10$, $12$, $14$ добавили число $40$. Как изменилось среднее и о чём это говорит?

Ответы и пояснения

1. $(12+15+11+14+13):5=65:5=13$.
2. $(7+10):2=17:2=8{,}5$. Среднее не обязано быть целым.
3. $(2+3+3+8):4=16:4=4$.
4. $(4+5+4+3+5+3):6=24:6=4$.
5. $(12+8+15+9):4=44:4=11$ страниц.
6. $S=6\cdot5=30$.
7. $S=7\cdot4=28$; четвёртое число равно $28-(5+8+9)=28-22=6$.
8. Сумма пяти работ должна быть $4\cdot5=20$, а четыре работы дают $16$. Значит, нужна оценка $20-16=4$.
9. Тогда сумма пяти работ была бы $4{,}5\cdot5=22{,}5$, и пятая оценка равнялась бы $22{,}5-16=6{,}5$. Такой оценки не существует, поэтому среднее $4{,}5$ здесь недостижимо.
10. Было $(10+12+14):3=36:3=12$, стало $(36+40):4=76:4=19$. Одно большое значение сильно тянет среднее вверх, поэтому по среднему нельзя судить обо всём ряде.

Итог

• Среднее арифметическое — это сумма, делённая на количество значений; оно распределяет общую сумму поровну.
• Из той же формулы получается сумма: $S=\bar a\cdot n$. Это ключ ко всем обратным задачам.
• Среднее лежит между минимумом и максимумом, может быть дробным и может не встречаться в ряду.
• Среднее не видит разброса, поэтому его называют вместе с наименьшим и наибольшим значениями. Дальше — задачи другого сорта: не «сколько в среднем», а «сколько всего вариантов».

← Круговые диаграммы · Дальше: перебор вариантов →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным