3.3. Прямая пропорциональность

6 класс · Отношения◷ 45–60 минут◇ БазаНужно знать: пропорции и десятичные дроби

Один килограмм яблок стоит $180$ рублей. Цена двух килограммов — $360$ рублей, половины килограмма — $90$ рублей. Что остаётся неизменным, когда масса и стоимость меняются?

◎ После урока ты сможешь

• находить единичную ставку и объяснять её единицы
• узнавать прямую пропорциональность по таблице, формуле и графику
• отличать зависимость y = kx от ситуаций с постоянной добавкой или другим законом

Одна связь — четыре представления

Лаборатория пропорциональности

Как растёт величина y = kx

Меняй единичную ставку и аргумент: таблица и график описывают одну зависимость.

y = kx

СюжетРавномерное движениеПокупка на вес

Цена, ₽/кг 180От 0,1 до 500; можно вводить десятичную дробь.

Масса, кг 2От 0,1 до 5; можно вводить десятичную дробь.

Таблица значений для стоимость

Масса, кг	Стоимость, ₽
0	0
1	180
2	360
3	540

Единичная ставка: за 1 кг получается 180 ₽.

Оси сохраняют один масштаб: изменение наклона показывает изменение коэффициента k.

×

2 кг · 180 ₽/кг = 360 ₽.Отношение y : x постоянно и равно k = 180 ₽/кг; поэтому это прямая пропорциональность.

Для яблок постоянна цена одного килограмма:

$\frac{\text{стоимость}}{\text{масса}}=180\text{ руб/кг}.$

Эта единичная ставка связывает все пары значений.

Масса $x$, кг	$0$	$0{,}5$	$1$	$2$	$3$
Стоимость $y$, руб	$0$	$90$	$180$	$360$	$540$

Каждое значение второй строки получается умножением первой на $180$:

$y=180x.$

∴ Прямая пропорциональность

Величина $y$ прямо пропорциональна величине $x$, если существует постоянное число $k$, для которого $y=kx.$ Число $k$ называют коэффициентом пропорциональности. При $x\ne0$ оно равно отношению $\frac yx$.

Если $x$ увеличить в $3$ раза, то $y=kx$ тоже увеличится в $3$ раза. Если $x$ уменьшить вдвое, $y$ уменьшится вдвое. При $x=0$ получаем $y=0$, поэтому график прямой пропорциональности проходит через начало координат.

Единицы рассказывают смысл коэффициента

В формуле стоимости $y=180x$ коэффициент имеет единицы руб/кг. В задаче о движении

$s=60t$

коэффициент $60$ измеряется в км/ч и означает скорость. В рецепте $m=150n$ коэффициент может означать $150$ граммов на одну порцию.

Восстановим формулу по таблицеРазбираем вместе

Даны пары $(x;y)$: $(2;14)$, $(5;35)$ и $(8;56)$.

Проверяем отношение второй величины к первой:

$14:2=7,\qquad 35:5=7,\qquad 56:8=7.$

Коэффициент один и тот же, поэтому зависимость прямо пропорциональна:

$y=7x.$

Она предсказывает, например, что при $x=12$ получим $y=84$.

Как читать график

Каждая точка $(x;y)$ показывает согласованную пару значений: первое число откладывают по горизонтальной оси $x$, второе — по вертикальной оси $y$. У формулы $y=kx$ точки лежат на прямой через начало координат $(0;0)$.

• Чем больше положительный коэффициент $k$, тем круче поднимается прямая.
• Координата $y$ при $x=1$ равна $k$: график буквально показывает ставку на одну единицу.
• В прикладной задаче берут только осмысленную часть графика. Масса или время обычно не бывают отрицательными, поэтому нужен луч в первой четверти.

Проверка понимания

Какая зависимость является прямой пропорциональностью?

• А. Стоимость воды по 45 ₽ за бутылку: y = 45x
• Б. Такси: y = 200 + 30x, где 200 ₽ — посадка
• В. Площадь квадрата: y = x²

Похожие, но не прямые зависимости

! Ловушка: любая растущая величина — пропорциональна

Стоимость такси $y=200+30x$ растёт вместе с расстоянием, но не прямо пропорциональна ему: при нулевом расстоянии уже есть посадочная плата $200$ рублей. Для прямой пропорциональности одновременно нужны постоянное отношение $y:x$ и точка $(0;0)$.

Есть и обратная зависимость: если один и тот же путь ехать с большей скоростью, времени потребуется меньше. При удвоении скорости время уменьшается вдвое. Это не формула $y=kx$; подробно такую зависимость будем исследовать отдельно.

Практика

Найди ставку и формулу

1. $4$ кг крупы стоят $520$ рублей. Найди цену килограмма и формулу стоимости $y$ для массы $x$.
2. За $3$ часа поезд прошёл $210$ км с постоянной скоростью. Запиши формулу пути $s$ через время $t$.
3. На $8$ порций нужно $1{,}2$ кг овощей. Сколько килограммов приходится на порцию? Запиши формулу массы $m$ для $n$ порций.
4. Заполни таблицу для $y=2{,}5x$, если $x=0;\ 2;\ 6;\ 10$.

Проверь зависимость

5. Является ли таблица $(1;4)$, $(3;12)$, $(5;20)$ прямо пропорциональной? Найди $k$.
6. Является ли таблица $(1;5)$, $(2;8)$, $(4;14)$ прямо пропорциональной? Объясни двумя проверками.
7. График — прямая через точки $(0;0)$ и $(4;10)$. Найди $k$ и значение $y$ при $x=7$.
8. Формула тарифа $y=150+12x$. Что означает каждое число и почему это не прямая пропорциональность?

Перенеси модель

9. Принтер печатает $36$ страниц за $3$ минуты с постоянной скоростью. Сколько страниц он напечатает за $7{,}5$ минуты?
10. Придумай ситуацию для формулы $y=0{,}8x$, назови обе величины и единицы коэффициента.

Ответы и объяснения

1. $520:4=130$ руб/кг; $y=130x$.
2. Скорость $210:3=70$ км/ч; $s=70t$.
3. $1{,}2:8=0{,}15$ кг/порцию; $m=0{,}15n$.
4. Значения $y$: $0;\ 5;\ 15;\ 25$.
5. Да: $4:1=12:3=20:5=4$, поэтому $y=4x$.
6. Нет. Отношения $5:1=5$, $8:2=4$, $14:4=3{,}5$ различаются; здесь на каждую добавленную единицу $x$ значение $y$ увеличивается на $3$, но график формулы $y=3x+2$ не проходит через $(0;0)$.
7. $k=10:4=2{,}5$; при $x=7$ получим $y=17{,}5$.
8. $150$ — фиксированная плата, $12$ — цена каждой единицы $x$. При $x=0$ значение $y=150$, а не $0$.
9. Ставка $36:3=12$ страниц/мин; $12\cdot7{,}5=90$ страниц.
10. Например, $y$ — масса крупы в килограммах, $x$ — число одинаковых пакетов, в каждом $0{,}8$ кг; коэффициент измеряется в кг/пакет.

Итог

• Единичная ставка $k$ — постоянное отношение зависимой величины к независимой.
• Таблица, формула $y=kx$ и прямая через начало координат описывают одну зависимость.
• Рост двух величин ещё не доказывает прямую пропорциональность: проверяй отношение и нулевую точку.

Дальше используем тот же коэффициентный язык для планов и карт, где одна длина уменьшена в строго заданное число раз.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным