Рациональные числа и степени

7 класс · Алгебра◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: обыкновенные и десятичные дроби, числа со знаком, разложение на простые множители

Калькулятор показывает $0{,}3333333$, астроном пишет $1{,}496\cdot10^{8}$ км, а биолог считает, что за сутки из одной клетки получится $2^{72}$ клеток. Три разные записи — и все три про одно и то же умение: держать число под контролем, когда оно не помещается в строку.

В 6 классе ты уже считал дробями и числами со знаком. Теперь два новых инструмента. Первый — честная десятичная запись: у неё бывает конец, а бывает бесконечный период. Второй — степень: короткая запись длинного произведения, которая позволяет говорить о числах любого размера.

◎ После урока ты сможешь

• выполнять точные вычисления с обыкновенными и десятичными дробями
• переводить дробь в десятичную запись и находить период
• понимать смысл степени с натуральным показателем и её знак
• применять свойства степеней и записывать большие числа в стандартном виде

◆ Точный ответ и приближённый — разные ответы

Запись $\tfrac{1}{3}$ точна. Запись $0{,}33$ — округление. Пока действие одно, разница почти не видна; после сотни действий она превращается в заметную ошибку. Поэтому мы будем сначала считать точно, а округлять — в самом конце и осознанно.

Входная диагностика

Ответь коротко; вычисляй там, где без этого не обойтись.

1. Сократи дробь $\dfrac{18}{24}$.
2. Вычисли $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}$.
3. Запиши $0{,}25$ обыкновенной дробью.
4. Вычисли $-5+8$.
5. Вычисли $(-4)\cdot(-3)$.
6. Разложи $60$ на простые множители.
7. Что больше: $0{,}7$ или $\dfrac{5}{7}$?
8. Сколько нулей в записи произведения $10\cdot10\cdot10\cdot10$?

Ответы для самопроверки

1. $\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}$.
2. $\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$.
3. $0{,}25=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}$.
4. $-5+8=3$.
5. $(-4)\cdot(-3)=12$.
6. $60=2^2\cdot3\cdot5$.
7. Больше $\dfrac{5}{7}$: сравним $5\cdot10=50$ и $7\cdot7=49$, значит $\dfrac{5}{7}>\dfrac{7}{10}$.
8. Четыре: получается $10\,000$.

Если какой-то пункт вызвал заминку, загляни в сложение дробей и умножение чисел со знаком — это фундамент главы.

Договорённости главы

• Точное значение записываем обыкновенной дробью или конечной десятичной; приближённое обязательно помечаем знаком $\approx$ и называем точность.
• Период бесконечной десятичной дроби заключаем в скобки: $0{,}41(6)$.
• Показатель степени в этой главе — натуральное число; отдельно договоримся о $a^0$.
• Лаборатория считает точно, в обыкновенных дробях; она не заменяет умение делить в столбик и раскладывать на множители.

Маршрут главы

1. Точные вычисления и периодические дроби — считаем без потерь и выясняем, откуда берётся период.
2. Степень с натуральным показателем — короткая запись длинного произведения и её знак.
3. Свойства степеней — складываем, вычитаем и умножаем показатели, не вычисляя значения.
4. Стандартный вид числа — приводим большие числа к виду $a\cdot10^{n}$ и сравниваем их по порядку.
5. Практикум — смешанные задачи и проверка каждого ответа вторым способом.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с точных вычислений.