Вероятностные деревья

8 класс · Вероятность◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: обыкновенные дроби, относительная частота, перебор вариантов, среднее арифметическое

В 7 классе вероятность приходилось оценивать: бросил монету пятьсот раз, посмотрел на долю орлов, получил число около $0{,}5$. Способ честный, но медленный, а для длинных опытов почти безнадёжный: чтобы оценить вероятность вытащить два туза подряд, серии из тысячи попыток может не хватить.

Эта глава даёт другой инструмент. Если исходы опыта равновозможны, вероятность можно вычислить — точной дробью, не проводя ни одного опыта. А если опыт идёт в несколько шагов, на помощь приходит дерево: путь от корня к листу — один сценарий, числа на рёбрах перемножаются, и весь опыт умещается на одном рисунке.

◎ После урока ты сможешь

• описывать события множествами исходов и выполнять над ними операции
• вычислять вероятность по классическому определению и по правилам сложения
• строить дерево многошагового опыта и применять правило умножения
• измерять рассеивание данных размахом и дисперсией

◆ Вероятность — это доля, а не предсказание

Вероятность $\frac{1}{6}$ не обещает, что шестёрка выпадет ровно один раз из шести бросков. Она говорит о другом: если бросков будет очень много, доля шестёрок окажется около $\frac{1}{6}$. Отдельный опыт остаётся непредсказуемым — и это не мешает считать точно.

Входная диагностика

Ответь до чтения главы; на всё уйдёт минут пять.

1. Сколько исходов у одного броска игрального кубика?
2. Монету бросили $200$ раз, орёл выпал $96$ раз. Чему равна относительная частота орла?
3. Сократи дробь $\frac{8}{12}$.
4. Вычисли $\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}$.
5. Вычисли $1-\frac{3}{7}$.
6. Есть $3$ футболки и $2$ кепки. Сколько получится комплектов?
7. Найди среднее арифметическое чисел $4$, $6$, $8$, $10$.
8. В ряду наибольшее значение $15$, наименьшее $7$. Чему равен размах?

Ответы для самопроверки

1. Шесть: грани от $1$ до $6$.
2. $96:200=0{,}48$.
3. $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.
4. $\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.
5. $1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$.
6. $3\cdot2=6$ комплектов — правило умножения.
7. $(4+6+8+10):4=28:4=7$.
8. $15-7=8$.

Если задания 3–5 вызвали заминку, держи под рукой действия с обыкновенными дробями: вся глава считает вероятности именно ими.

Договорённости главы

• Вероятность записываем обыкновенной дробью и сокращаем: $\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$. Десятичную запись используем только там, где она удобнее для сравнения.
• Формула $P=\frac{m}{n}$ применяется только к опытам с равновозможными исходами. Каждый раз объясняем, почему исходы равновозможны.
• Любая вероятность лежит между $0$ и $1$. Ответ вроде $\frac{11}{10}$ — сигнал об ошибке, а не редкий случай.
• Сумма вероятностей всех исходов опыта равна $1$; это главная проверка любого дерева.

Маршрут главы

1. События и множества — исход, событие, объединение, пересечение, противоположное событие и диаграммы Эйлера.
2. Классическая вероятность — формула $P=\frac{m}{n}$, правила сложения и вероятность противоположного события.
3. Дерево испытаний — многошаговый опыт, правило умножения вдоль пути и сумма по листьям.
4. Рассеивание данных — размах, отклонения от среднего и дисперсия.
5. Практикум — собираем всё в один разбор случайного опыта.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с языка событий: без него формулы вероятности читаются как заклинания.