4.1 Аксиомы и взаимное расположение

10 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: аксиомы и доказательства из 7 класса, параллельные прямые, куб и его рёбра

Фотоштатив стоит на трёх ногах и не качается никогда. Стул на четырёх ногах качается регулярно. Причина не в качестве сборки: три точки, не лежащие на одной прямой, всегда задают ровно одну плоскость, а четыре — уже не обязаны лежать в одной.

С этого наблюдения и начинается стереометрия.

◎ После урока ты сможешь

• формулировать три аксиомы стереометрии и следствия из них
• различать пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые
• доказывать скрещиваемость прямых по признаку, а не по рисунку
• перечислять три случая взаимного расположения прямой и плоскости

Прогноз до вычислений

У куба $12$ рёбер, значит пар рёбер ровно $\dfrac{12\cdot11}{2}=66$. Запиши три догадки, не считая: сколько среди них пар параллельных, сколько пересекающихся и сколько таких, через которые нельзя провести одну плоскость. Сумма должна быть $66$.

Держи свои три числа перед глазами: лаборатория ниже посчитает их честно.

Лаборатория пространства

Две прямые в кубе

Отметь два ребра и выясни, лежат ли они в одной плоскости. Куб можно повернуть: расположение прямых от этого не меняется.

66 пар рёбер

ABBCCDDAA₁B₁B₁C₁C₁D₁D₁A₁AA₁BB₁CC₁DD₁

Поворот −35°

Подъём 28°

Проекция параллельная: длины и углы на рисунке искажены, но параллельность прямых сохраняется.

◇

AB и CC₁ — скрещивающиеся.Одной плоскости, содержащей обе прямые, не существует. Угол между ними 90° (переносим ребро параллельно), расстояние 4 см.

Всего у куба 12 рёбер и 66 пар: 18 параллельных, 24 пересекающихся и 24 скрещивающихся.

↺ Вернуть пример

Три аксиомы

Планиметрия строилась на своих аксиомах. Стереометрия добавляет к ним три новые.

∴ Аксиомы стереометрии

A₁. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

A₂. Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

A₃. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, которой принадлежат все их общие точки.

Аксиома A₂ — это рабочий инструмент: чтобы доказать, что прямая целиком лежит в плоскости, достаточно найти в этой плоскости две её точки. Аксиома A₃ запрещает плоскостям касаться в одной точке: либо у них нет общих точек, либо целая общая прямая.

Два следствия

С₁. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

С₂. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство С₁ короткое. Возьмём на прямой $a$ две точки $P$ и $Q$ и точку $M\notin a$. Точки $P$, $Q$, $M$ не лежат на одной прямой, значит по A₁ через них проходит единственная плоскость $\alpha$. В ней лежат две точки прямой $a$, поэтому по A₂ в ней лежит и вся прямая $a$. Любая другая плоскость, содержащая $a$ и $M$, содержала бы те же три точки, а такая плоскость по A₁ единственная.

Три случая для двух прямых

На плоскости случаев было два: прямые пересекаются или параллельны. В пространстве появляется третий.

∴ Взаимное расположение прямых

Две различные прямые в пространстве:

• пересекаются — имеют ровно одну общую точку;
• параллельны — лежат в одной плоскости и не имеют общих точек;
• скрещиваются — не лежат ни в какой одной плоскости (общих точек у них тоже нет).

Признак скрещивающихся прямых. Если прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ пересекает $\alpha$ в точке $M$, не принадлежащей $a$, то $a$ и $b$ скрещиваются.

Обрати внимание на определение параллельности: одного «не пересекаются» мало, нужна ещё общая плоскость. Именно это условие в планиметрии выполнялось само собой.

Рёбра AB и CC₁ скрещиваютсяРазбираем вместе

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ прямая $AB$ лежит в плоскости нижней грани $ABCD$. Прямая $CC_1$ пересекает эту плоскость в точке $C$: точка $C$ принадлежит грани, а точка $C_1$ — нет.

Точка $C$ не лежит на прямой $AB$, потому что $ABCD$ — квадрат, и точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой. По признаку прямые $AB$ и $CC_1$ скрещиваются.

Проверка «от противного»: если бы существовала плоскость $\beta$, содержащая обе прямые, то в ней лежали бы точки $A$, $B$ и $C$, а значит $\beta$ совпадала бы с плоскостью $ABC$. Но $C_1\notin ABC$, противоречие.

Перепись всех пар рёбер

Возьми любое ребро куба, например $AB$. Ему параллельны ровно три ребра: $CD$, $A_1B_1$, $C_1D_1$. С ним пересекаются четыре: $BC$, $DA$, $AA_1$, $BB_1$. С оставшимися четырьмя — $B_1C_1$, $D_1A_1$, $CC_1$, $DD_1$ — оно скрещивается.

То же верно для каждого из $12$ рёбер, а каждая пара считается дважды:

$\frac{12\cdot3}{2}=18,\qquad \frac{12\cdot4}{2}=24,\qquad \frac{12\cdot4}{2}=24,$

и $18+24+24=66$. Сравни с прогнозом: чаще всего скрещивающихся пар недооценивают.

Прямая и плоскость

∴ Три случая для прямой и плоскости

• Прямая лежит в плоскости: у них не меньше двух общих точек, а по A₂ — все точки прямой.
• Прямая пересекает плоскость: ровно одна общая точка.
• Прямая параллельна плоскости: общих точек нет. Пишут $a\parallel\alpha$.

Промежуточных случаев нет: количество общих точек равно $0$, $1$ или бесконечности.

Проверка понимания

Прямые a и b не имеют общих точек. Что из этого следует в пространстве?

• А. Они обязательно параллельны
• Б. Они параллельны или скрещиваются
• В. Они лежат в одной плоскости

! «Не пересекаются» ещё не значит «параллельны»

Эта привычка приходит из планиметрии, где других вариантов не было. В пространстве вывод «прямые не встретились, значит параллельны» неверен: сначала нужно предъявить плоскость, содержащую обе прямые. Если такой плоскости нет — прямые скрещиваются, и говорить о параллельности нельзя.

Практика

1. Сколько плоскостей проходит: а) через три точки, не лежащие на одной прямой; б) через прямую и точку вне её; в) через две пересекающиеся прямые?
2. Прямая $a$ и плоскость $\alpha$ имеют две общие точки. Сколько у них общих точек всего?
3. Различные плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$. Что можно утверждать об их пересечении?
4. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ назови все рёбра, скрещивающиеся с ребром $AA_1$.
5. Назови все рёбра куба, скрещивающиеся с ребром $CD$.
6. Прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, прямая $b$ пересекает $\alpha$ в точке, не принадлежащей $a$. Как расположены $a$ и $b$?
7. Могут ли две прямые не иметь общих точек и не быть параллельными? Приведи пример на кубе.
8. Сколько у куба пар скрещивающихся рёбер? Обоснуй подсчёт.
9. Три различные прямые попарно пересекаются, но не проходят через одну точку. Докажи, что все они лежат в одной плоскости.
10. Верно ли, что прямая, пересекающая одну из двух пересекающихся прямых, пересекает и вторую?

Ответы и пояснения

1. Во всех трёх случаях — ровно одна: это A₁, С₁ и С₂.
2. Бесконечно много: по A₂ прямая целиком лежит в плоскости.
3. По A₃ плоскости пересекаются по прямой, и эта прямая проходит через $M$.
4. $BC$, $CD$, $B_1C_1$, $C_1D_1$. Параллельны ему $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$, а пересекают его $AB$, $AD$, $A_1B_1$, $A_1D_1$.
5. $AA_1$, $BB_1$, $B_1C_1$, $D_1A_1$.
6. Скрещиваются — по признаку скрещивающихся прямых.
7. Да. Например, $AB$ и $CC_1$: общих точек нет, но общей плоскости тоже нет.
8. $24$. Каждое из $12$ рёбер скрещивается ровно с $4$ другими, а каждая пара учтена дважды: $12\cdot4:2=24$.
9. Пусть $a$ и $b$ пересекаются в точке $C$. По С₂ через них проходит единственная плоскость $\alpha$. Прямая $c$ пересекает $a$ в точке $P$ и $b$ в точке $Q$, причём $P\ne Q$ (иначе все три прямые прошли бы через одну точку). Точки $P$ и $Q$ лежат в $\alpha$, значит по A₂ и вся прямая $c$ лежит в $\alpha$.
10. Нет. В кубе $AB$ пересекает $BC$, и $CC_1$ пересекает $BC$, но $AB$ и $CC_1$ скрещиваются.

Итог

• Стереометрия добавляет три аксиомы; из них выводятся следствия о единственной плоскости через прямую и точку и через две пересекающиеся прямые.
• Для пары прямых в пространстве три случая: пересекаются, параллельны, скрещиваются.
• Скрещиваемость доказывают признаком или методом от противного, а не по внешнему виду чертежа.
• Прямая и плоскость имеют $0$, $1$ или бесконечно много общих точек — других вариантов нет.

Дальше нужно научиться работать с двумя случаями «без общих точек» по отдельности: параллельность в пространстве получает свои признаки.

← Вход в тему · Дальше: параллельность →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным