5.1 Среднее и медиана

7 класс · Данные◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: десятичные дроби, деление, упорядочивание чисел

В школьном клубе спидкубинга девять человек собрали кубик Рубика за $30$, $32$, $33$, $34$, $35$, $36$, $38$, $40$ и $42$ секунды. Десятым пробует новичок, и у него уходит $300$ секунд — пять минут.

Тренер должен написать в отчёте одно число: сколько времени обычно уходит у клуба на сборку. Какое число он имеет право написать?

Прогноз до вычислений

Ответь, не считая:

1. Как изменится среднее арифметическое, если время новичка вырастет с $40$ до $300$ секунд?
2. Как изменится серединное значение упорядоченного ряда?
3. Какое из двух чисел честнее описывает «обычный результат клуба»?

Запиши ответы. Через минуту лаборатория их проверит.

◎ После урока ты сможешь

• вычислять среднее арифметическое, медиану и размах набора данных
• объяснять, чем медиана отличается от среднего по устройству
• предсказывать, как выброс подействует на каждую характеристику
• выбирать характеристику центра под конкретный вопрос

Управляемый эксперимент

Двигай ползунок: девять результатов остаются на месте, меняется только десятый. Следи за двумя вертикальными линиями на числовой оси.

Лаборатория данных

Среднее, медиана и размах

Девять участников уже собрали кубик. Время десятого задаёшь ты. Проверь, какая характеристика убегает вслед за одним значением, а какая остаётся на месте.

n = 10

Сборка кубикаСбор на подарок

Десять результатов клуба спидкубинга, секунды

Время десятого участника40 сОт 25 до 300 с; стрелки клавиатуры двигают ползунок на 1.

Обычное значение: 40 сВыброс: 300 с

Масштаб оси один для всех точек: расстояние на рисунке пропорционально разности значений.

Показать центр

Среднее

?

Сумма всех значений, делённая на их количество: слагаемых ровно 10.

Медиана

?

Середина упорядоченного ряда; при чётном объёме — среднее двух серединных значений.

Размах

12

Разность наибольшего и наименьшего: 42 − 30.

?

Сначала оцени центр на глаз, потом открой ответ.Точки уже нарисованы: прикинь, где окажется середина ряда, а где — среднее.

↺ Вернуть пример

Сплошная линия — среднее, пунктирная — медиана. Пока десятое значение держится рядом с остальными, линии почти совпадают. Уведи ползунок вправо — и линии разъедутся.

Три характеристики

∴ Среднее, медиана, размах

Пусть дан ряд из $n$ чисел.

Среднее арифметическое — сумма всех значений, делённая на их количество:

$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}.$

Медиана — значение, стоящее посередине ряда, упорядоченного по возрастанию. При нечётном $n$ это ровно одно серединное значение; при чётном $n$ — среднее арифметическое двух серединных.

Размах — разность наибольшего и наименьшего значений: $R=x_{\max}-x_{\min}$.

Среднее и медиана описывают центр набора, размах — его разброс.

◆ Две медианы, и они про разное

В геометрии медианой называют отрезок от вершины треугольника до середины противоположной стороны — с ним ты работаешь в главе «Язык доказательства». Слово то же, объект другой: там отрезок на чертеже, здесь число из ряда данных. Общая у них только идея середины: медиана треугольника делит пополам сторону, медиана ряда — сам ряд. Из контекста всегда видно, о какой из двух идёт речь.

Разница между средним и медианой видна из устройства формул. В сумму входит величина каждого значения: увеличил одно число на $260$ — сумма выросла на $260$, среднее выросло на $260:n$. Медиане же важно только место значения в упорядоченном ряду: пока самое большое число остаётся самым большим, середина ряда не сдвигается, сколь угодно большим оно ни станет.

✦ Выброс

Значение, которое резко выделяется на фоне остальных, называют выбросом. Выброс не обязательно ошибка: новичок в клубе — настоящий участник. Но отчёт, где выброс молча растворён в среднем, вводит читателя в заблуждение.

Разобранный пример

Отчёт клуба: два честных числаРазбираем вместе

Данные без новичка (девять значений) и с ним (десять значений).

Вариант A. Десятым идёт обычный результат $40$ с.

Ряд: $30$, $32$, $33$, $34$, $35$, $36$, $38$, $40$, $40$, $42$.

Сумма равна $360$, поэтому

$\bar{x}=\frac{360}{10}=36.$

Значений десять, значит серединных два — пятое и шестое: $35$ и $36$. Медиана равна

$\frac{35+36}{2}=35{,}5.$

Размах: $R=42-30=12$.

Вариант B. Десятым идёт новичок с результатом $300$ с.

Ряд: $30$, $32$, $33$, $34$, $35$, $36$, $38$, $40$, $42$, $300$.

Сумма равна $320+300=620$, поэтому

$\bar{x}=\frac{620}{10}=62.$

Упорядочивание почти не изменилось: пятое и шестое значения по-прежнему $35$ и $36$, поэтому медиана осталась равна $35{,}5$. А размах вырос: $R=300-30=270$.

Вывод для отчёта. Среднее подскочило с $36$ до $62$ с, хотя девять из десяти участников собирают кубик быстрее $43$ секунд. Число $62$ не описывает никого из клуба. Медиана $35{,}5$ с описывает типичный результат, а размах $270$ с честно сообщает, что в клубе есть и совсем медленная попытка.

Проверка понимания

В ряду 4, 5, 6, 7, 100 последнее значение заменили на 1000. Что изменится?

• А. Изменятся и среднее, и медиана
• Б. Изменится только среднее
• В. Не изменится ничего

Типичная ошибка

! Медиану ищут в неупорядоченном ряду

Для ряда $7$, $2$, $9$ «серединное» число — вовсе не $2$. Сначала упорядочиваем: $2$, $7$, $9$. Медиана равна $7$.

Вторая частая путаница — считать медианой середину между наименьшим и наибольшим значениями. Для ряда $2$, $7$, $9$ это дало бы $(2+9):2=5{,}5$ — число, которого нет ни в данных, ни в их середине. Медиана определяется порядком значений, а не их крайними величинами.

Практика

1. Найди среднее, медиану и размах ряда $4$, $7$, $2$, $9$, $3$.
2. Найди среднее, медиану и размах ряда $12$, $14$, $15$, $15$, $16$, $18$.
3. Для ряда $3$, $5$, $5$, $7$, $30$ найди среднее и медиану. Какая из характеристик лучше описывает типичное значение?
4. Времена сборки (с): $30$, $32$, $33$, $34$, $35$, $36$, $38$, $40$, $42$, $40$. Найди все три характеристики.
5. В том же ряду последнее значение заменили на $300$. Пересчитай все три характеристики.
6. Среднее семи чисел равно $8$. Чему равна их сумма?
7. Среднее четырёх чисел равно $7$. К набору добавили число $12$. Каким стало среднее?
8. Средний рост пяти мальчиков равен $160$ см, пяти девочек — $155$ см. Найди средний рост всех десяти.
9. У набора из шести чисел медиана равна $10$. Обязательно ли какое-то из чисел равно $10$?
10. Придумай набор из пяти чисел, у которого среднее равно $6$, а медиана — $4$.
11. Размах набора данных равен нулю. Что можно сказать о данных?

Ответы и пояснения

1. Сумма $4+7+2+9+3=25$, среднее $25:5=5$. Упорядоченный ряд $2$, $3$, $4$, $7$, $9$; медиана — третье значение, $4$. Размах $9-2=7$.
2. Сумма $90$, среднее $90:6=15$. Ряд уже упорядочен, серединные значения — третье и четвёртое, оба $15$, медиана $15$. Размах $18-12=6$. Здесь среднее и медиана совпали.
3. Сумма $50$, среднее $10$; медиана — третье значение, $5$. Типичное значение лучше описывает медиана: четыре числа из пяти меньше $8$, а среднее вытянуто значением $30$.
4. Сумма $360$; $\bar{x}=36$; медиана $\frac{35+36}{2}=35{,}5$; размах $42-30=12$.
5. Сумма $620$; $\bar{x}=62$; медиана по-прежнему $35{,}5$; размах $300-30=270$.
6. $8\cdot7=56$.
7. Сумма четырёх чисел равна $7\cdot4=28$; новая сумма $28+12=40$; новое среднее $40:5=8$.
8. Сумма мальчиков $160\cdot5=800$, девочек $155\cdot5=775$; общий средний рост $\frac{800+775}{10}=\frac{1575}{10}=157{,}5$ см.
9. Не обязательно. Пример: $8$, $9$, $9$, $11$, $12$, $13$. Серединные значения — $9$ и $11$, медиана $\frac{9+11}{2}=10$, но самого числа $10$ в наборе нет.
10. Например, $1$, $2$, $4$, $5$, $18$: сумма $30$, среднее $30:5=6$; медиана — третье значение, $4$. Подойдёт любой набор, где три меньших значения дают медиану $4$, а сумма равна $30$.
11. Наибольшее и наименьшее значения совпадают, значит все значения набора равны между собой. Тогда среднее и медиана тоже равны этому числу.

Итог

• Среднее арифметическое учитывает величину каждого значения, поэтому один выброс тянет его за собой.
• Медиана зависит только от порядка значений и потому устойчива к выбросам.
• Размах измеряет разброс и, наоборот, полностью определяется крайними значениями.
• Честный отчёт по данным содержит и характеристику центра, и характеристику разброса, а про выброс сообщает прямо.

Дальше научимся смотреть не только на центр: таблица частот и диаграмма покажут, как значения распределены по всему набору.

← Вход в тему · Дальше: частоты и диаграммы →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным