1.3 Обратная функция

10 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: область определения и множество значений, монотонность, решение уравнений с корнем

Термометр в США показывает $86°\mathrm{F}$. Перевод в градусы Цельсия — это возврат по правилу: было $F=1{,}8C+32$, а нужно найти $C$.

Шифр превращает текст в набор чисел; дешифратор возвращает текст обратно. Заказ по номеру находит покупателя; покупатель по фамилии находит заказ.

Каждый раз мы просим функцию поработать в обратную сторону. Иногда это получается. Иногда — принципиально нет, и важно уметь заранее отличать один случай от другого.

◎ После урока ты сможешь

• проверять обратимость функции по определению и по графику
• находить формулу обратной функции по алгоритму
• связывать D(f) и E(f) с областью определения и множеством значений обратной функции
• объяснять, почему график обратной функции симметричен исходному относительно прямой y = x

Прогноз до вычислений

1. Функция $y=x^2$ переводит $-3$ и $3$ в одно и то же число. Можно ли по значению $9$ восстановить аргумент?
2. А если заранее договориться, что аргументы берём только неотрицательные?
3. Функция $y=\dfrac{1}{x}$ не монотонна на всей своей области определения. Значит ли это, что обратной функции у неё нет?

Эксперимент: когда возврат возможен

Переключай примеры и смотри на две вещи сразу: сколько раз горизонтальная прямая пересекает график и как вторая линия получается отражением первой относительно пунктирной прямой $y=x$.

Лаборатория обратимости

Отражение относительно прямой y = x

Переключай примеры и следи за двумя вещами: сколько раз горизонтальная прямая пересекает график и как обратная линия получается отражением.

y = √x

y = 2x − 3y = x², x ⩾ 0y = (x − 1)² + 2, x ⩾ 1y = x³y = √xy = 1/xy = x²y = |x|

y = x², x ⩾ 0⇄y = √x

Спрятать обратную функцию

Пары «аргумент — значение» для y = x², x ⩾ 0 и возврат по обратной функции

x	0	1	2	3	4
y = f(x)	0	1	4	9	16
f⁻¹(y)	0	1	2	3	4

Область определения fx ⩾ 0Что можно подставить в исходную функцию.

Область значений fy ⩾ 0Она же станет областью определения обратной.

Горизонтальная прямаяне больше одной точкиПризнак обратимости: каждое значение достигается не более одного раза.

⇄

y = x², x ⩾ 0 обратима, обратная функция: y = √x.На луче x ⩾ 0 парабола только возрастает: каждое значение встречается ровно один раз. Область определения обратной функции — x ⩾ 0: это в точности множество значений исходной.

↺ Вернуть пример

Обязательно посмотри пример $y=x^2$ без ограничений: там появляется горизонтальная прямая-свидетель, которая ловит график сразу в двух точках.

Определение и условие обратимости

∴ Обратимость и обратная функция

Функция $f$ называется обратимой на множестве $X$, если разным аргументам она ставит в соответствие разные значения:

$x_1\neq x_2\ \Longrightarrow\ f(x_1)\neq f(x_2)\qquad\text{для всех }x_1,x_2\in X.$

В этом случае существует единственная функция $f^{-1}$, для которой

$f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x\ \ \text{при всех }x\in D(f),\qquad f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y\ \ \text{при всех }y\in E(f).$

Её называют обратной. Области при этом меняются ролями:

$D(f^{-1})=E(f),\qquad E(f^{-1})=D(f).$

✦ Достаточное условие и графический признак

Если функция монотонна на промежутке (только возрастает или только убывает), то на нём она обратима. Это удобное достаточное условие: монотонность проверить обычно легче, чем перебирать пары аргументов.

Обратное неверно. Функция $y=\dfrac{1}{x}$ на всей области определения не монотонна, но обратима: разным $x$ действительно отвечают разные $y$.

Графический признак работает всегда: функция обратима тогда и только тогда, когда любая горизонтальная прямая пересекает её график не более одного раза.

Если функция необратима, положение часто спасает сужение области определения. Функция $y=x^2$ на всей прямой обратной не имеет, а на луче $x\geqslant 0$ — имеет, и это $y=\sqrt{x}$. На луче $x\leqslant 0$ обратная тоже есть, но другая: $y=-\sqrt{x}$.

Алгоритм поиска формулы

∴ Четыре шага

1. Убедиться, что функция обратима на указанном множестве (обычно — сослаться на монотонность).
2. Найти $E(f)$: это будет область определения обратной функции.
3. Решить уравнение $y=f(x)$ относительно $x$, то есть выразить аргумент через значение.
4. Поменять обозначения местами: то, что было $y$, назвать $x$, — и записать ответ вместе с $D(f^{-1})$.

Четвёртый шаг — только смена букв. Он нужен, чтобы у обеих функций аргумент традиционно назывался $x$ и графики можно было рисовать в одних осях.

Обратная к f(x) = 2x − 3Разбираем вместе

Функция линейная и возрастает, значит обратима. Область значений — все числа.

Выражаем $x$:

$y=2x-3\ \Longrightarrow\ 2x=y+3\ \Longrightarrow\ x=\frac{y+3}{2}.$

Меняем обозначения:

$f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2},\qquad D(f^{-1})=\mathbb{R}.$

Проверка в точке: $f(4)=2\cdot4-3=5$, и обратно $f^{-1}(5)=\dfrac{5+3}{2}=4$. Аргумент вернулся.

Обратная к f(x) = (x − 1)² + 2 при x ⩾ 1Разбираем вместе

На луче $x\geqslant 1$ выражение $x-1$ неотрицательно и растёт, значит функция возрастает и обратима. Наименьшее значение достигается при $x=1$ и равно $2$, поэтому

$E(f)=[2;+\infty).$

Выражаем $x$:

$y-2=(x-1)^2\ \Longrightarrow\ x-1=\sqrt{y-2}\ \Longrightarrow\ x=1+\sqrt{y-2}.$

Знак «плюс» перед корнем выбран не случайно: по условию $x\geqslant 1$, то есть $x-1\geqslant 0$. Если бы область определения была $x\leqslant 1$, получилось бы $x=1-\sqrt{y-2}$.

Ответ:

$f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-2},\qquad D(f^{-1})=[2;+\infty),\qquad E(f^{-1})=[1;+\infty).$

Проверка: $f(3)=(3-1)^2+2=6$, и $f^{-1}(6)=1+\sqrt{4}=3$.

Почему графики симметричны относительно y = x

Если точка $(p;q)$ лежит на графике $f$, то $q=f(p)$, а значит $p=f^{-1}(q)$ — и точка $(q;p)$ лежит на графике $f^{-1}$. Переход от $(p;q)$ к $(q;p)$ — это ровно отражение относительно прямой $y=x$.

Отсюда полезное следствие: если функция обратима и её график пересекает прямую $y=x$, то в этих точках $f(x)=x$, и они остаются на месте при отражении.

Обратная задача: обратима или нет

График показан, ответ спрятан. Мысленно проведи горизонтальную прямую, реши — и проверь себя.

Лаборатория обратимости

Есть ли у этой функции обратная?

Смотри на график и решай: можно ли по каждому значению восстановить аргумент однозначно. Потом нажми «Проверить».

y = f⁻¹(x)

Функция № 1 из 6Следующая функция

y = x²⇄обратная функция: ?

Мой ответ

ОбратимаНе обратима

Проверить

Пары «аргумент — значение» для y = x²

x	−2	−1	0	1	2
y = f(x)	4	1	0	1	4

?

Можно ли по значению восстановить аргумент однозначно?Мысленно проведи горизонтальную прямую и посмотри, сколько раз она пересекает график. Ответ и вторая линия появятся после проверки.

↺ Вернуть пример

Проверка понимания

У функции f область определения [0; +∞), множество значений [−1; +∞). Что верно для обратной функции?

• А. D(f⁻¹) = [0; +∞) и E(f⁻¹) = [−1; +∞)
• Б. D(f⁻¹) = [−1; +∞) и E(f⁻¹) = [0; +∞)
• В. D(f⁻¹) = [−1; +∞) и E(f⁻¹) = [−1; +∞)

! f⁻¹(x) — это не 1/f(x)

Верхний индекс $-1$ в записи $f^{-1}$ означает «обратная функция», а не «минус первая степень».

Возьмём $f(x)=2x$. Обратная функция — это $f^{-1}(x)=\dfrac{x}{2}$, а вовсе не $\dfrac{1}{2x}$.

Проверим в точке $x=4$:

$f^{-1}(4)=2,\qquad \frac{1}{f(4)}=\frac{1}{8}.$

Числа разные, и смысл разный: первое возвращает аргумент, второе просто делит единицу на значение.

Практика

1. Найди обратную функцию для $f(x)=x+7$.
2. Найди обратную функцию для $f(x)=3x-6$.
3. Найди обратную функцию для $f(x)=\dfrac{x-4}{5}$.
4. Найди обратную функцию для $f(x)=x^3$.
5. Найди обратную функцию для $f(x)=\dfrac{1}{x}$ при $x\neq 0$.
6. Найди обратную функцию для $f(x)=x^2$ при $x\leqslant 0$ и укажи $D(f^{-1})$.
7. Найди обратную функцию для $f(x)=\sqrt{x-2}$ и укажи $D(f^{-1})$.
8. Обратима ли функция $f(x)=x^4$ на всей числовой прямой? Приведи проверку.
9. Обратима ли функция $f(x)=x^4$ при $x\geqslant 0$? Запиши обратную.
10. Известно, что $D(f)=[2;9]$ и $E(f)=[-3;5]$. Найди $D(f^{-1})$ и $E(f^{-1})$.
11. Точка $(3;8)$ лежит на графике обратимой функции $f$. Какая точка лежит на графике $f^{-1}$?
12. Для $f(x)=2x+1$ вычисли $f^{-1}(f(10))$ и $f\bigl(f^{-1}(0)\bigr)$, не находя формулу обратной.
13. Найди обратную функцию для $f(x)=5-x$ и объясни, что в ней необычного.
14. График обратимой функции $f$ проходит через точки $(0;3)$ и $(3;0)$. Через какие точки проходит график $f^{-1}$?

Ответы и пояснения

1. $f^{-1}(x)=x-7$.
2. Из $y=3x-6$ получаем $x=\dfrac{y+6}{3}$, поэтому $f^{-1}(x)=\dfrac{x+6}{3}$.
3. Из $y=\dfrac{x-4}{5}$ получаем $x=5y+4$, поэтому $f^{-1}(x)=5x+4$.
4. $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$: у каждого числа ровно один кубический корень.
5. $f^{-1}(x)=\dfrac{1}{x}$ — функция обратна самой себе.
6. При $x\leqslant 0$ из $y=x^2$ следует $x=-\sqrt{y}$, поэтому $f^{-1}(x)=-\sqrt{x}$ и $D(f^{-1})=[0;+\infty)$.
7. Из $y=\sqrt{x-2}$ следует $x=y^2+2$, поэтому $f^{-1}(x)=x^2+2$ и $D(f^{-1})=[0;+\infty)$: у корня значения неотрицательны.
8. Не обратима: $f(-1)=1$ и $f(1)=1$, разные аргументы дают одно значение.
9. Обратима: на луче $x\geqslant 0$ функция возрастает, и $f^{-1}(x)=\sqrt[4]{x}$ при $x\geqslant 0$.
10. $D(f^{-1})=[-3;5]$, $E(f^{-1})=[2;9]$.
11. Точка $(8;3)$.
12. Оба выражения равны своему аргументу по определению обратной функции: $f^{-1}(f(10))=10$ и $f(f^{-1}(0))=0$.
13. Из $y=5-x$ получаем $x=5-y$, поэтому $f^{-1}(x)=5-x$: функция снова обратна самой себе, а её график симметричен относительно прямой $y=x$ сам себе.
14. Через точки $(3;0)$ и $(0;3)$: координаты меняются местами.

Итог

• Функция обратима тогда и только тогда, когда разные аргументы дают разные значения; графически — горизонтальная прямая пересекает график не более одного раза.
• Монотонность — удобное достаточное условие, но не необходимое: гипербола обратима и без монотонности на всей области определения.
• Формулу ищут по алгоритму: проверить обратимость, найти $E(f)$, выразить $x$ через $y$, поменять обозначения.
• У обратной функции области меняются ролями: $D(f^{-1})=E(f)$ и $E(f^{-1})=D(f)$, а график симметричен исходному относительно прямой $y=x$.

Равенство $f^{-1}(f(x))=x$ — первый пример композиции: две функции работают одна за другой, и результат оказывается тождественным. В следующем уроке разберём конвейер из двух функций в общем виде.

← Преобразования графиков · Дальше: композиция функций →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным