2.1 Тождества и тождественные преобразования

7 класс · Алгебра◷ 45–55 минут◇ БазаНужно знать: распределительное свойство, подобные слагаемые, действия с числами со знаком

Два ученика записали стоимость доставки по-разному. Первый: $3(x+2)$. Второй: $3x+6$. Учитель подставил $x=4$ — оба получили $18$. Подставил $x=10$ — оба получили $36$.

Сколько ещё проверок нужно, чтобы поверить, что записи совпадают всегда?

◎ После урока ты сможешь

• формулировать, что такое тождество и тождественно равные выражения
• доказывать тождество преобразованием, а не подстановкой
• опровергать ложное равенство одним контрпримером
• выполнять преобразования со скобками, не теряя знаков

Прогноз до вычислений

Ответь письменно, пока ничего не считая.

• Если два выражения совпали при трёх значениях буквы — можно ли считать вопрос закрытым?
• А если совпали при ста значениях?
• Сколько значений нужно проверить, чтобы получилась гарантия?

Запомни свой ответ: к нему вернёмся в конце урока.

Управляемый эксперимент

В лаборатории одно и то же выражение считается двумя маршрутами: «целиком» — сначала складываем внутри скобок, потом умножаем; «по частям» — умножаем каждое слагаемое отдельно. Меняй множитель, значение $x$ и число в скобках, в том числе на отрицательные.

Лаборатория распределительного закона

Умножить сумму целиком или по частям

Направленные полосы сохраняют знак каждого вклада — в том числе при отрицательном множителе.

a(b ± c)

ЦеликомПо частям

Множитель 3

−+

От −10 до 10, шаг 1.

Значение x 4

−+

От −10 до 10, шаг 1.

Число в скобках 2

−+

От −10 до 10, шаг 1.

3 · (4 + 2)=12 + 6=18

1. 1

   Внутри скобок. 4 + 2 = 6.

2. 2

   Распределяем множитель. Первый вклад — 3 · 4 = 12, второй — 3 · (2) = 6.

3. 3

   Сверяем. Оба маршрута дают 18.

=

3 · (4 + 2) = 12 + 6 = 18Знак второго вклада определяется всем произведением, а не только знаком между членами в скобках.

↺ Вернуть пример

Сколько бы значений ты ни перебрал, оба маршрута дают одно число. Но лаборатория перебирает конечное число случаев, а значений у $x$ бесконечно много. Поэтому эксперимент — это гипотеза, а не доказательство. Доказывает закон, по которому маршруты равны: распределительный.

Точное определение

∴ Тождество

Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него букв.

Два выражения называют тождественно равными, если при любых допустимых значениях букв они принимают одинаковые значения.

Тождественное преобразование — замена выражения тождественно равным ему выражением.

Примеры тождеств, знакомых с 6 класса:

$a+b=b+a,\qquad a(b+c)=ab+ac,\qquad ax+bx=(a+b)x.$

Каждое из них — не наблюдение, а закон арифметики. Именно поэтому цепочка преобразований, собранная из таких законов, сохраняет значение выражения на каждом шаге.

✦ Две разные задачи

«Реши уравнение $5x=x$» — это поиск тех значений, при которых равенство верно (здесь только $x=0$).

«Докажи тождество $5x-x=4x$» — это проверка того, что равенство верно при любом $x$. Задачи выглядят похоже, но требуют разного.

Как доказывают тождество

Обычный приём — преобразовывать одну часть, пока она не совпадёт с другой. Каждый шаг должен опираться на закон.

Докажем, что 5(x − 3) + 2x = 7x − 15Разбираем вместе

Работаем с левой частью.

Раскроем скобки по распределительному закону:

$5(x-3)+2x=5x-15+2x.$

Соберём подобные слагаемые:

$5x+2x=7x.$

Значит,

$5(x-3)+2x=7x-15.$

Правая часть получена, ни одного числа мы не подставляли. Тождество доказано для всех $x$ сразу.

Как опровергают равенство

Чтобы доказать тождество, нужны все значения. Чтобы его опровергнуть, хватит одного.

Равенство $x^2=2x$ верно при $x=0$ и при $x=2$. Но при $x=3$ слева $9$, а справа $6$. Одного такого случая достаточно: тождеством это равенство не является.

! Совпало на числе — значит, верно

Самая частая ошибка урока: проверить пару значений и объявить тождество доказанным.

Равенство $x^2=2x$ выдерживает проверки при $x=0$ и $x=2$; равенство $(a+b)^2=a^2+b^2$ выдерживает проверку при $a=0$. Оба — не тождества. Подстановка нужна для поиска ошибки: если значения разошлись, где-то точно есть промах. Если совпали — это ещё ничего не гарантирует.

Скобка со знаком минус

Отдельный источник ошибок — минус перед скобкой. Запись $-(b-c)$ означает $(-1)\cdot(b-c)$, поэтому знак меняется у каждого члена:

$a-(b-c)=a-b+c.$

Проверка при $a=10$, $b=4$, $c=1$: слева $10-3=7$, справа $10-4+1=7$. Проверка не доказывает, но помогает вовремя заметить потерянный знак.

Проверка понимания

Как доказать, что выражения 2(x + 4) и 2x + 8 тождественно равны?

• А. Подставить x = 1 и убедиться, что обе записи дали 10
• Б. Раскрыть скобки по распределительному закону и получить правую часть
• В. Построить таблицу значений для x = 0, 1, 2, 3 и сравнить столбцы

Практика

1. Является ли тождеством равенство $a+b=b+a$?
2. Является ли тождеством равенство $x^2=2x$? Проверь $x=0$, $x=2$ и $x=3$.
3. Докажи тождество $3(y-4)+12=3y$.
4. Докажи тождество $2(a+3)-(a+6)=a$.
5. Упрости $7m-(3m-5)$.
6. Упрости $-(2x-7)+4x$.
7. При каких значениях $x$ верно равенство $5x=x$? Тождество ли это?
8. Замени выражение $4(t+2)-3t$ тождественно равным более коротким.
9. Верно ли, что $(a+b)^2=a^2+b^2$? Проверь $a=1$, $b=1$.
10. Запиши выражение, тождественно равное $6x+9$, но в виде произведения.

Ответы и пояснения

1. Да, это переместительный закон сложения; он верен для любых чисел.
2. Нет. При $x=0$: $0=0$; при $x=2$: $4=4$; при $x=3$: $9\ne6$. Одного расхождения достаточно.
3. $3(y-4)+12=3y-12+12=3y$.
4. $2(a+3)-(a+6)=2a+6-a-6=a$.
5. $7m-3m+5=4m+5$.
6. $-2x+7+4x=2x+7$.
7. Только при $x=0$. Это уравнение, а не тождество: при $x=1$ получается $5\ne1$.
8. $4t+8-3t=t+8$.
9. Нет. При $a=1$, $b=1$ слева $(1+1)^2=4$, справа $1+1=2$.
10. $6x+9=3(2x+3)$. Проверка обратным умножением: $3\cdot2x+3\cdot3=6x+9$.

Итог

• Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях букв, а не при удачно подобранных.
• Тождество доказывают преобразованием по законам арифметики; подстановка его не заменяет.
• Опровергнуть равенство можно одним контрпримером.
• Минус перед скобкой меняет знак каждого члена внутри неё.

Дальше наведём порядок в самих выражениях: договоримся, как выглядит стандартный вид одночлена и многочлена и как их складывать.

← Вход в тему · Дальше: одночлены и многочлены →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным