3.5 Практикум: выбираем способ решения

8 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ БазаНужно знать: уроки 3.1–3.4

Формула корней универсальна, и этим она опасна: ею начинают решать вообще всё. Уравнение $x^2+9x=0$ по формуле решается за шесть действий, а вынесением множителя — за одно.

Этот практикум не про новые правила. Он про пять секунд, которые стоит потратить на вопрос «а как здесь быстрее?» перед началом вычислений.

◎ После урока ты сможешь

• узнавать вид уравнения до начала вычислений и выбирать способ осознанно
• решать неполные уравнения, уравнения с полным квадратом и общий случай
• проверять ответ вторым способом и по условию задачи
• объяснять, что означает отрицательный дискриминант в модели

Как выбрать способ

∴ Четыре вопроса перед решением

1. Есть ли свободный член? Если $c=0$, выноси $x$ за скобку: $x(ax+b)=0$. Корень $x=0$ здесь всегда.
2. Есть ли второй коэффициент? Если $b=0$, получай $x^2=k$ и смотри на знак $k$.
3. Квадрат уже собран? Уравнение вида $(x+m)^2=k$ решается извлечением корня, без всякой формулы.
4. Уравнение приведённое, а $q$ маленькое целое? Пробуй теорему Виета: сумма $-p$, произведение $q$. Не нашлось пары за несколько попыток — переходи к дискриминанту.

Если ни один вопрос не сработал, остаётся дискриминант. Он не «запасной», а универсальный: с него можно и начинать, просто иногда это дольше.

Станция 1. Разминка на распознавание

Реши устно и назови использованный приём.

1. $3x^2-27=0$
2. $x^2+5x=0$
3. $x^2+4=0$
4. $7x^2=0$

Ответы станции 1

1. $x^2=9$, корни $\pm3$ — извлечение корня ($b=0$).
2. $x(x+5)=0$, корни $0$ и $-5$ — вынесение множителя ($c=0$).
3. $x^2=-4$ — корней нет: квадрат неотрицателен.
4. $x^2=0$, единственный корень $0$.

Станция 2. Предсказание числа корней

График скрыт до проверки. Считай дискриминант в уме, выбирай ответ, потом сверяйся с параболой. Пройди все шесть уравнений.

Лаборатория дискриминанта

Предскажи число корней по дискриминанту

Уравнение задано, график скрыт. Посчитай D сам, выбери ответ и только потом смотри на параболу.

D = b² − 4ac

Уравнение № 1 из 6Следующее уравнение

2x² − 3x − 2 = 0→D = ?

Корней нетОдин кореньДва корняПроверить

?

Сколько корней у этого уравнения?Посчитай дискриминант в уме или на бумаге и выбери ответ. График появится после проверки.

↺ Вернуть пример

Станция 3. Виет на скорость

Здесь тоже сначала ответ, потом таблица делителей. Пробуй разные $p$ и $q$ — в том числе такие, где целой пары нет.

Лаборатория теоремы Виета

Сумма и произведение вместо формулы корней

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 пара корней полностью описывается двумя числами: сумма равна −p, произведение равно q. Проверь, когда этого хватает, а когда нет.

x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q

Подобрать корниСоставить уравнение

Коэффициент p −9

−+

Целое от −20 до 20

Свободный член q 20

−+

Целое от −48 до 48

x² − 9x + 20 = 0→x₁ + x₂ = 9, x₁ · x₂ = 20

Мой x₁

Мой x₂

Проверить

?

Подбери два числа: сумма 9, произведение 20.Введи оба числа и нажми «Проверить». Таблица делителей откроется после ответа.

↺ Вернуть пример

Переключись на вкладку «Составить уравнение» и проверь обратный ход: по паре корней получить $p$, $q$ и разложение на множители.

Станция 4. Модель, в которой квадрат появляется сам

Турнир в один кругРазбираем вместе

В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым ровно одну партию. Всего сыграно $45$ партий. Сколько было участников?

Пусть участников $n$. Каждый играет с $n-1$ соперником, но каждая партия при таком подсчёте учтена дважды, поэтому партий ровно $\dfrac{n(n-1)}{2}$.

$\frac{n(n-1)}{2}=45,\qquad n^2-n-90=0.$

$D=1+360=361,\qquad \sqrt{361}=19,\qquad n=\frac{1\pm19}{2}.$

Корни: $n_1=10$ и $n_2=-9$. Число участников натуральное, поэтому $n=10$.

Проверка по условию: $\dfrac{10\cdot9}{2}=45$ партий. Сходится.

Проверка понимания

Каким способом быстрее всего решить уравнение x² + 9x = 0?

• А. По формуле корней через дискриминант
• Б. Вынести x за скобку
• В. Подбором по теореме Виета

◆ Паспорт ответа

Рядом с каждым решением полезно записать четыре вещи: сколько корней найдено, каким способом, как выполнена проверка и (для текстовой задачи) почему отброшен лишний корень. Решение без такого паспорта трудно проверить — и своё, и чужое.

Итоговый набор задач

1. $x^2-36=0$
2. $x^2+7x=0$
3. $(x-4)^2=25$
4. $x^2-9x+20=0$
5. $x^2+6x+8=0$
6. $2x^2-7x+6=0$
7. $x^2-4x-1=0$
8. $3x^2+x+5=0$
9. $4x^2-12x+9=0$
10. Разложи на множители трёхчлен $x^2+2x-15$.
11. При каком $c$ уравнение $x^2-10x+c=0$ имеет ровно один корень?
12. Один из корней уравнения $x^2-5x+q=0$ равен $2$. Найди $q$ и второй корень.
13. Периметр прямоугольника равен $22$ см, площадь — $24\ \text{см}^2$. Найди стороны.
14. Произведение двух последовательных чётных натуральных чисел равно $168$. Найди эти числа.

Ответы, способы и проверки

1. $b=0$: $x^2=36$, корни $\pm6$.
2. $c=0$: $x(x+7)=0$, корни $0$ и $-7$.
3. Квадрат собран: $x-4=\pm5$, корни $9$ и $-1$. Проверка: $(9-4)^2=25$ и $(-1-4)^2=25$.
4. Виет: сумма $9$, произведение $20$ — корни $4$ и $5$.
5. Виет: сумма $-6$, произведение $8$ — корни $-2$ и $-4$. Проверка: $4-12+8=0$.
6. Дискриминант: $D=49-48=1$, корни $\dfrac{7\pm1}{4}$ — это $2$ и $1{,}5$. Проверка: $2\cdot2{,}25-10{,}5+6=0$.
7. Дискриминант: $D=16+4=20$, корни $\dfrac{4\pm2\sqrt5}{2}=2\pm\sqrt5$, приближённо $4{,}24$ и $-0{,}24$. Целых корней нет, подбор здесь и не должен был сработать.
8. $D=1-60=-59<0$ — корней нет.
9. $D=144-144=0$, единственный корень $x=\dfrac{12}{8}=1{,}5$. Левая часть — это $(2x-3)^2$.
10. Корни: сумма $-2$, произведение $-15$, то есть $-5$ и $3$. Значит $x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$. Проверка раскрытием скобок: $x^2-3x+5x-15=x^2+2x-15$.
11. Один корень означает $D=0$: $100-4c=0$, откуда $c=25$. Тогда $x^2-10x+25=(x-5)^2$.
12. Сумма корней равна $5$, поэтому второй корень равен $3$. Произведение даёт $q=2\cdot3=6$. Проверка: $4-10+6=0$ и $9-15+6=0$.
13. Полупериметр $11$: $x^2-11x+24=0$. $D=121-96=25$, корни $\dfrac{11\pm5}{2}$ — это $8$ и $3$. Стороны $8$ см и $3$ см; оба корня задают один прямоугольник. Проверка: $P=2\cdot11=22$ см, $S=24\ \text{см}^2$.
14. Пусть меньшее число равно $n$, тогда большее равно $n+2$: $n^2+2n-168=0$. $D=4+672=676=26^2$, корни $\dfrac{-2\pm26}{2}$ — это $12$ и $-14$. Натуральное чётное только $12$, числа $12$ и $14$. Проверка: $12\cdot14=168$.

Рефлексия

1. В каких задачах набора формула корней была лишней работой, а в каких — единственным выходом?
2. Где два корня дали один ответ, где — два разных ответа, а где один пришлось отбросить?
3. Что означал бы отрицательный дискриминант в задаче $13$, если бы площадь была равна $35\ \text{см}^2$?

Возможные ответы: формула была лишней в задачах $1$–$3$ и избыточной в $4$–$5$, но незаменимой в $6$–$9$; один ответ из двух корней дали задачи $13$ и $14$ по-разному — в $13$ оба корня описывают один прямоугольник, а в $14$ отрицательный корень отброшен; при площади $35\ \text{см}^2$ получилось бы $D=121-140=-19<0$, то есть прямоугольника с такими периметром и площадью не существует.

✦ Мост дальше

Квадратное уравнение — это только вопрос «где парабола встречает ось $x$». Дальше появится вопрос «где она выше или ниже оси» — и те же корни начнут задавать промежутки. Тот же квадратный трёхчлен встретится в исследовании функций, в задачах на наибольшее и наименьшее значение и в уравнениях, которые заменой сводятся к квадратным.

А теорема Виета останется с тобой надолго: она работает и там, где корни иррациональны, и там, где считать их по формуле просто незачем.

← Текстовые задачи · К обзору 8 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным