1.4 Текстовые задачи через уравнения и системы

9 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: рациональные уравнения, системы с двумя переменными, формулы движения и работы

Катер прошёл $36$ км по течению реки и столько же обратно, потратив на всё $5$ часов. Скорость течения — $3$ км/ч. Какова собственная скорость катера?

Заметь: в вопросе одна величина, а в условии — четыре числа и два разных участка пути. Сама по себе арифметика тут не поможет. Помогает модель: назвать неизвестное буквой и перевести каждое предложение условия в равенство.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать неизвестные так, чтобы условия записывались проще
• составлять уравнение или систему по тексту задачи
• решать полученную модель и возвращаться от чисел к вопросу задачи
• отбрасывать корни, не подходящие по смыслу, и объяснять почему

Прогноз до вычислений

• Катер идёт по течению быстрее или медленнее, чем против? На сколько именно?
• Если бы течения не было, сколько времени заняли бы $72$ км при скорости $15$ км/ч?
• У прямоугольника периметр $34$ см. Может ли его площадь быть равной $100\ \text{см}^2$?

Модель задачи: пять шагов

∴ От текста к уравнению

1. Назови буквой то, что ищут, или ту величину, через которую остальные выражаются проще всего.
2. Выпиши область смысла: скорость и время положительны, число деталей целое, цифра — от $0$ до $9$.
3. Переведи каждое условие в равенство. Условий должно быть столько же, сколько неизвестных.
4. Реши уравнение или систему.
5. Вернись к вопросу: отбрось корни, не подходящие по смыслу, и ответь именно на то, что спрашивали.

Шаг 5 забывают чаще всего. Найденное $x$ и ответ задачи — не всегда одно и то же число.

Три величины связаны почти во всех задачах этой темы:

$s=vt,\qquad A=Nt,\qquad S=ab.$

Путь равен скорости на время; выполненная работа — производительности на время; площадь прямоугольника — произведению сторон. Все три формулы одинаково устроены, поэтому и уравнения получаются похожими.

Движение: скорость в знаменателе

Когда известен путь, а ищут скорость, время записывается дробью $t=\dfrac{s}{v}$ — и уравнение сразу становится дробно-рациональным.

Катер туда и обратноРазбираем вместе

Пусть $v$ — собственная скорость катера, $v>3$ (иначе против течения он не пойдёт).

По течению скорость равна $v+3$, против течения — $v-3$. Времена:

$\frac{36}{v+3}+\frac{36}{v-3}=5.$

Запреты: $v\ne3$ и $v\ne-3$. Умножаем обе части на $(v+3)(v-3)=v^2-9$:

$36(v-3)+36(v+3)=5(v^2-9),\qquad 72v=5v^2-45.$

$5v^2-72v-45=0,\qquad D=72^2+4\cdot5\cdot45=5184+900=6084,\qquad \sqrt{D}=78.$

$v_1=\frac{72-78}{10}=-0{,}6,\qquad v_2=\frac{72+78}{10}=15.$

Отрицательная скорость смысла не имеет. Остаётся $v=15$ км/ч.

Проверка по условию: $\dfrac{36}{18}=2$ ч и $\dfrac{36}{12}=3$ ч, вместе $5$ часов — сходится.

Размеры фигуры: сумма и произведение

Прямоугольник по периметру и площадиРазбираем вместе

Периметр прямоугольника равен $34$ см, площадь — $60\ \text{см}^2$. Найдём стороны.

Пусть стороны равны $x$ и $y$, оба числа положительны. Периметр $2(x+y)=34$, значит $x+y=17$. Площадь даёт второе условие:

$\begin{cases} x+y=17,\\ xy=60. \end{cases}$

Подстановка $y=17-x$:

$x(17-x)=60,\qquad x^2-17x+60=0,\qquad D=289-240=49,\qquad \sqrt{D}=7.$

$x_1=\frac{17-7}{2}=5,\qquad x_2=\frac{17+7}{2}=12.$

Обе пары $(5;12)$ и $(12;5)$ описывают один и тот же прямоугольник.

Ответ: стороны $5$ см и $12$ см. Проверка: $2(5+12)=34$ и $5\cdot12=60$.

Цифры числа: буква для каждой цифры

Двузначное число с цифрой десятков $a$ и цифрой единиц $b$ записывается как $10a+b$. Не $ab$ — это было бы произведение.

Число и его перевёртышРазбираем вместе

Сумма цифр двузначного числа равна $11$. Если поменять цифры местами, число уменьшится на $27$. Найдём число.

Пусть $a$ — цифра десятков ($1\le a\le9$), $b$ — цифра единиц ($0\le b\le9$). Тогда само число равно $10a+b$, а перевёрнутое — $10b+a$.

$\begin{cases} a+b=11,\\ (10a+b)-(10b+a)=27. \end{cases}$

Второе уравнение упрощается: $9a-9b=27$, то есть $a-b=3$.

$\begin{cases} a+b=11,\\ a-b=3. \end{cases}$

Сложение даёт $2a=14$, значит $a=7$ и $b=4$.

Ответ: $74$. Проверка: $7+4=11$ и $74-47=27$.

Тренажёр для шага 4

Составить модель — половина дела. Вторая половина — аккуратно решить полученное уравнение. Прогоняй здесь именно те примеры, которые похожи на твою задачу.

Лаборатория рациональных уравнений

От записи с дробями — к целому уравнению и обратно

Умножение на выражение с буквой может добавить корни. Поэтому запреты выписывают до решения, а кандидатов сверяют с ними после.

1/x + 1/(x + 3) = 1/2

Посторонний кореньУравнение из задачи о работеОтвет «корней нет»Переменная исчезлаЛовушка сокращенияДва допустимых корня

Дробно-рациональное уравнение: 1/x + 1/(x + 3) = 1/2

1. 1

   Выписываем запреты: нули знаменателейx ≠ −3, x ≠ 0

2. 2

   Общий знаменатель обеих частейx² + 3x

3. 3

   Умножаем на него и приводим подобныеx² − x − 6 = 0

4. 4

   Корни целого уравнения — это только кандидаты−2; 3

5. 5

   Сверяем каждого кандидата со списком запретовпосторонних корней нет

6. 6

   Ответ−2; 3

=

Ответ: −2; 3.Оба корня допустимы, но смыслу задачи отвечает только положительный.

↺ Вернуть пример

Проверка понимания

Задача про скорость свелась к уравнению v² + v − 12 = 0. Корни равны 3 и −4. Каким будет ответ задачи?

• А. Оба: 3 и −4
• Б. Ни одного: корней с разными знаками быть не должно
• В. Только 3

! Где чаще всего ломается модель

Ответили не на тот вопрос. За $x$ взяли время первой трубы, а спрашивали про вторую. Перед записью ответа перечитай вопрос.

Смешали единицы. Скорость в км/ч, а время в минутах — уравнение получится верным по виду и неверным по существу. Единицы согласуют до составления уравнения.

Забыли про область смысла. Отрицательная длина, отрицательное время, цифра $12$ или дробное число рабочих — сигнал вычеркнуть корень, а не переписать его в ответ.

Перепутали «на» и «в». «На $3$ часа дольше» — это $x+3$. «В $3$ раза дольше» — это $3x$. Одно слово меняет всю модель.

Практика

Для каждой задачи запиши, что обозначено буквой, и составь модель.

1. Сумма двух чисел равна $15$, а произведение — $56$. Найди эти числа.
2. Периметр прямоугольника равен $26$ см, площадь — $40\ \text{см}^2$. Найди стороны.
3. Диагональ прямоугольника равна $10$ см, периметр — $28$ см. Найди стороны.
4. Разность двух чисел равна $2$, а произведение — $48$. Найди эти числа.
5. Лодка прошла $30$ км по течению и $30$ км против течения за $8$ часов. Скорость течения $2$ км/ч. Найди собственную скорость лодки.
6. Два рабочих вместе выполняют заказ за $6$ часов. Первый в одиночку справляется на $5$ часов быстрее второго. За сколько часов выполнит заказ каждый?
7. Сумма положительного числа и обратного к нему равна $\dfrac{10}{3}$. Найди это число.
8. Турист прошёл $12$ км. Если бы он шёл на $1$ км/ч быстрее, он потратил бы на $1$ час меньше. Найди его скорость.
9. За $3$ тетради и $2$ ручки заплатили $210$ ₽, за $2$ тетради и $3$ ручки — $215$ ₽. Найди цену тетради и цену ручки.
10. Сумма цифр двузначного числа равна $12$. Если поменять цифры местами, число увеличится на $18$. Найди число.
11. Площадь прямоугольника равна $24\ \text{см}^2$. Если одну сторону увеличить на $2$ см, а другую уменьшить на $1$ см, площадь не изменится. Найди стороны.
12. Расстояние между городами $300$ км. Обратно автомобиль ехал на $10$ км/ч быстрее и затратил на $1$ час меньше. Найди скорость на пути туда.

Ответы и пояснения

1. $x+y=15$, $xy=56$; подстановка даёт $x^2-15x+56=0$, $D=225-224=1$, корни $7$ и $8$. Ответ: $7$ и $8$.
2. $x+y=13$, $xy=40$; $x^2-13x+40=0$, $D=169-160=9$, корни $5$ и $8$. Ответ: $5$ см и $8$ см.
3. По теореме Пифагора $x^2+y^2=100$, а из периметра $x+y=14$. Тогда $(x+y)^2=196$, то есть $x^2+2xy+y^2=196$ и $2xy=196-100=96$, значит $xy=48$. Из $x+y=14$ и $xy=48$ получаем $x^2-14x+48=0$, $D=4$, корни $6$ и $8$. Ответ: $6$ см и $8$ см.
4. $x-y=2$, $xy=48$; тогда $x=y+2$ и $y^2+2y-48=0$, $D=4+192=196$, корни $y=6$ и $y=-8$. Ответ: $8$ и $6$ либо $-6$ и $-8$ — оба варианта удовлетворяют условию.
5. Пусть $v$ — собственная скорость, $v>2$: $\dfrac{30}{v+2}+\dfrac{30}{v-2}=8$. После умножения на $v^2-4$: $60v=8v^2-32$, то есть $2v^2-15v-8=0$, $D=225+64=289$, $\sqrt{D}=17$, корни $8$ и $-0{,}5$. Ответ: $8$ км/ч; проверка: $\dfrac{30}{10}+\dfrac{30}{6}=3+5=8$.
6. $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{6}$ при $x>0$; после умножения на $6x(x+5)$ получаем $x^2-7x-30=0$, $D=49+120=169$, корни $10$ и $-3$. Ответ: $10$ часов и $15$ часов.
7. $x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{10}{3}$ при $x\ne0$; умножаем на $3x$: $3x^2-10x+3=0$, $D=100-36=64$, корни $3$ и $\dfrac{1}{3}$. Оба положительны, оба подходят. Ответ: $3$ или $\dfrac{1}{3}$.
8. $\dfrac{12}{v}-\dfrac{12}{v+1}=1$ при $v>0$; после умножения на $v(v+1)$: $12=v^2+v$, то есть $v^2+v-12=0$, $D=49$, корни $3$ и $-4$. Ответ: $3$ км/ч.
9. $3t+2r=210$, $2t+3r=215$. Сложив, получим $5t+5r=425$, то есть $t+r=85$; вычитая, получим $t-r=-5$. Отсюда $t=40$ и $r=45$. Ответ: тетрадь $40$ ₽, ручка $45$ ₽.
10. $a+b=12$ и $(10b+a)-(10a+b)=18$, то есть $b-a=2$. Тогда $b=7$ и $a=5$. Ответ: $57$; проверка: $75-57=18$.
11. $xy=24$ и $(x+2)(y-1)=24$. Раскрыв скобки: $xy-x+2y-2=24$, а так как $xy=24$, остаётся $-x+2y=2$, то есть $x=2y-2$. Тогда $(2y-2)y=24$, то есть $y^2-y-12=0$, $D=49$, корни $4$ и $-3$. Ответ: стороны $6$ см и $4$ см; проверка: $8\cdot3=24$.
12. Пусть $v$ — скорость туда: $\dfrac{300}{v}-\dfrac{300}{v+10}=1$ при $v>0$. После умножения на $v(v+10)$: $3000=v^2+10v$, то есть $v^2+10v-3000=0$, $D=100+12\,000=12\,100$, $\sqrt{D}=110$, корни $50$ и $-60$. Ответ: $50$ км/ч; проверка: $6$ ч туда и $5$ ч обратно.

Итог

• Модель задачи — это выбор неизвестных плюс перевод каждого условия в равенство.
• Условий должно быть столько же, сколько неизвестных, иначе система не определена.
• Задачи на движение и работу почти всегда дают дробно-рациональное уравнение: время стоит в знаменателе.
• Пара «сумма и произведение» приводит к квадратному уравнению — так решаются задачи про стороны прямоугольника.
• Найденный корень становится ответом только после проверки по смыслу задачи.

Осталось собрать всё вместе: уравнение, график, систему и текст.

← Системы уравнений · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным