Производная

11 класс · Алгебра◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: линейная и квадратичная функции, монотонность, многочлены, числовые промежутки

Спидометр показывает скорость прямо сейчас. Но скорость — это путь, делённый на время, а «прямо сейчас» никакого времени не занимает. Делить на ноль нельзя. Откуда же прибор берёт число?

Тот же вопрос выглядит иначе, но остаётся тем же самым в десятке других мест: с какой скоростью растёт вклад в этот момент, насколько круто идёт вверх дорога в этой точке, при каком размере коробка получится самой вместительной. Все эти вопросы — про скорость изменения в точке, и отвечает на них одно понятие.

Оно называется производной. В этой главе мы построим его почти с нуля: сначала руками, на средних скоростях и секущих, потом — как готовый инструмент, который за пару строк решает задачи, раньше требовавшие перебора.

◎ После урока ты сможешь

• объяснять смысл производной как мгновенной скорости и как наклона касательной
• находить производную по определению и по таблице с правилами дифференцирования
• записывать уравнение касательной к графику в заданной точке
• исследовать функцию на монотонность и экстремумы по знаку производной
• решать прикладные задачи на наибольшее и наименьшее значение

◆ Средняя и мгновенная — разные числа

Автомобиль проехал $120$ км за $2$ часа. Средняя скорость равна $60$ км/ч — это факт про весь путь целиком.

Но в какой-то момент он стоял на светофоре, а где-то шёл $90$ км/ч. Средняя скорость ничего об этом не говорит.

Производная — это способ получить второе число: не «сколько в среднем», а «сколько именно в этот момент».

Входная диагностика

Ответь без длинных вычислений — это те знания, на которые глава опирается.

1. Чему равен угловой коэффициент прямой $y=4x-7$?
2. Через точки $(1;3)$ и $(4;12)$ проведена прямая. Каков её угловой коэффициент?
3. Где находится вершина параболы $y=x^2-6x+5$?
4. На каких промежутках убывает функция $y=x^2$?
5. Поезд прошёл $180$ км за $3$ ч. Какова его средняя скорость?
6. Раскрой скобки: $(x+h)^2$.
7. Сократи дробь $\dfrac{6h+h^2}{h}$ при $h\neq 0$.
8. Может ли выражение $\dfrac{0}{0}$ быть равно какому-то определённому числу?

Ответы для самопроверки

1. $k=4$.
2. $k=\dfrac{12-3}{4-1}=\dfrac{9}{3}=3$.
3. В точке $(3;-4)$: $x_{\text{в}}=\dfrac{6}{2}=3$, $y=9-18+5=-4$.
4. На промежутке $(-\infty;0]$.
5. $180:3=60$ км/ч.
6. $x^2+2xh+h^2$.
7. $\dfrac{h(6+h)}{h}=6+h$.
8. Нет. Эта запись не задаёт числа — именно поэтому мгновенную скорость придётся определять через предел, а не через прямое деление.

Договорённости главы

• Предел мы используем наглядно: «при $h$, стремящемся к нулю, выражение подбирается к числу $L$». Строгое определение через $\varepsilon$ и $\delta$ — задача первого курса, и без него всё в этой главе честно работает.
• Все функции главы предполагаются достаточно гладкими: у многочленов, корней, синуса, косинуса и дробей вне нулей знаменателя производная есть во всех точках области определения.
• Ответ «найдите производную» — это формула. Ответ «найдите производную в точке» — это число. Разницу мы будем подчёркивать каждый раз.
• Лаборатория показывает, как ведёт себя разностное отношение, но не доказывает предел. Доказательство — выкладка на бумаге.

Маршрут главы

1. Касательная и мгновенная скорость — от средней скорости к пределу разностного отношения и к уравнению касательной.
2. Правила дифференцирования — таблица производных и четыре правила, после которых предел считать уже не нужно.
3. Исследование функции — знак производной, промежутки монотонности и экстремумы.
4. Задачи оптимизации — наибольшее и наименьшее значение и прикладные модели.
5. Практикум — смешанные задачи от определения до оптимизации.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с вопроса о спидометре — он честно приведёт к определению.